Бурение грунтовых зондов, установка энергетических колодцев

Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы S механической системы а и которые однозначно определяют положение этой системы в про — J странстве, называют обобщенными координатами. Обобщенные коор — — динаты будем обозначать буквой q q2, …, qs).

При движении системы ее обобщенные координаты будут с тече — | нием времени непрерывно изменяться. Закон этого движения опре­делится уравнениями

Ча =/i(*)» fc=/s(0- (6-91)

Уравнения (6.91) представляют собой кинематические уравнения движения системы в обобщенных координатах.

Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями системы. Будем обозначать обобщенные скорости символами q2, q2, …, qs> имея в виду, что q1=dq1/dt и т. д. Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщен­ной координаты. Если q—линейная величина, то q—линейная скорость, если q—угол, то q—угловая скорость и т. д. .

Обобщенные силы—это величины, равные коэффициентам при 1 приращениях обобщенных координат в выражении полной элемен — , тарной работы действующих на систему сил:

£5Л^е1б91+е28?2++6sS9s’ (6-92) ;

где Qlt Q2, …, Qs—обобщенные силы, соответствующие обобщенным < координатам. . :

Размерность обобщенной силы равна размерности работы [Дж], деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты. Отсюда следует, что если q—линейная величина, то Q имеет размерность обычной силы, если q—угол (величина безразмерная), то Q будет иметь размерность момента силы и т. д.

Обобщенные силы вычисляют следующим образом. Сначала устанавливают число степеней свободы механической системы. Затем. выбирают обобщенные координаты и изображают на чертеже (рас­четной схеме) все приложенные к системе активные силы и силы трения, если они совершают работу. Затем для определения надо 152

bAl — Qloql. *

[Сообщить системе такое возможное перемещение, при котором еизменяется только координата q2. На этом перемещении вычис-

алгебраическая сумма элементарных работ всех действующих

о формулам (6.86) или (6.87) и представляется в форме

X 8Л1-(5Л1)1+(8Л1)2+…+(8/11)й,

(6.93)

[| где (8/^)!, (8у4г)2, …, (8^4j)n—возможная работа соответствующих К силовых факторов совершающих элементарную работу на возможном f перемещении 8qx. < Е Затем выражение (6.93) представляется в виде

(6.94)

К Коэффициент при bql и будет представлять собой значение f обобщенной силы Qx. Аналогично вычисляют Q2, Q3 и т. д. К Согласно принципу возможных перемещений, необходимое и до — f статочное условие равновесия механической системы—равенство нулю К суммы элементарных работ всех активных сил (и сил фения, если If они совершают работу) на любом возможном перемещении системы, [| т. е. условие У бл,.=0. В обобщенных координатах это условие Н согласно равенству (6.92) дает

s18r/i+e25(?2+… +е4%=о.

(6.95)

Так как все величины 8<?ь bq2, …, bqs между собой независимы, то равенство (6.95) может выполняться лишь в том случае, когда каждый из коэффициентов при bqu 8q2, …, oqs в отдельности равен нулю, т. е.

I — Отсюда можно утверждать, что для равновесия механической : системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, щ соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, ’ были равны нулю. I Уравнения движения механической системы в обобщенных коор­динатах (уравнения Лагранжа II рода) выводятся из общего уравнения ■ динамики системы и имеют следующий вид:

(6.96)

d(дТ дТ dtdq3) dqY 1

(6.97)

где Т—кинетическая энергия системы.

Si—0» Q2—0, …, Qs—0.

к

Уравнения Лагранжа II рода дают единый и притом достаточно| простой метод решения задач динамики сложных механических систем.; Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид; и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся. Число: уравнений определяется лишь числом степеней свободы системы. При, идеальных связях в правые части уравнений (6.97) войдут только обобщенные активные силы и, следовательно, эти уравнения позволяет заранее исключить все наперед неизвестные реакции связей.

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит. в том, чтобы, зная обобщенные силы Qx, Q2, …, Qs и начальные условия, найти закон движения системы, т. е. определить обобщенные координаты qx, q2, …, qs, как функции времени. Так как кинетическая энергия зависит от обобщенных скоростей qh то при дифферен­цировании первых членов уравнений (6.97) по времени в левых частях этих уравнений появляются вторые производные по времени % от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения вто­рого порядка относительно обобщенных координат.

С помощью уравнения Лагранжа. II рода можно легко составлять дифференциальные уравнения прямолинейно движущегося тела (на­пример, бурового снаряда в скважине). "

Комментарии запрещены.