Турбулентность как ветвь статистической физики
Турбулентность как ветвь статистической физики
В этом пт мы будем следовать схеме изложения, схожей со схемой пт 2, интересуясь приемущественно структурными основами турбулентности. Другими словами разглядим корреляции скоростей в 2-ух либо более точках (и моментах времени), тогда как в пт 2 рассматривались только одноточечные корреляции. Базы такового подхода изложены Тейлором (1935) в статье, в какой были введены также понятия статистической однородности и изотропии, шаг, который перевел теорию турбулентности из разряда инженерной науки в разряд области физики. В последующей работе [Тейлор, 1938а] было завершено определение энергетического диапазона через волновые числа (т. е. применено преобразование Фурье от двухточечной пространственной корреляции), и, как мы сейчас осознаем, вычисление этого диапазона является главной целью базовой теории турбулентности.
Двухточечные корреляции второго порядка (либо моменты) поля скоростей играют ведомую роль в теории турбулентности. Потому обратим некое внимание на связи меж двухточечным (базовым) и одноточечным (инженерным) подходами к решению трудности турбулентности. А именно, так как многоточечная теория является более общей по сопоставлению с двухточечной, мы будем интересоваться критериями, при которых она сведется к одноточечной.
Начнем с того, как реально можно измерить корреляции в 2-ух точках, к примеру, в течении в трубе. Можно представить, что у нас есть анемометр, который определяет все три скалярных компонента флуктуирующей скорости в одной точке x. Если у нас есть 2-ой таковой анемометр в точке x?, то в принципе мы должны перемножить все пары сигналов и усреднить приобретенное произведение, чтоб получить девять скалярных компонент корреляционного тензора Qab, который определяется соотношением
, (57)
Каждый компонент корреляционного тензора сам по для себя является функцией восьми скалярных переменных. Потому мы до этого, чем начнем создавать огромное количество данных, попытаемся аккуратненько разглядеть вопрос о том, как можно решить такую задачку более периодическим образом. В собственной значимой части корреляции скорости, как можно ждать, зависят от 2-ух вещей. Во-1-х, если мы довольно далековато раздвигаем точки, в каких делается измерение, то можем ждать, что корреляция исчезает. Таким макаром, корреляция будет зависеть от расстояния меж измеряемыми точками. Во-2-х, величина корреляций должна, при фиксированном расстоянии меж точками, зависеть от абсолютных величин компонент скорости. Если мы обратимся к экспериментальным результатам, относящимся к сдвиговым течениям (к примеру, рис. 5), то увидим, что величины корреляции, при данном расстоянии меж точками, зависят от расстояния до оси трубы.
На практике очень неплохим методом решения этой задачки является жесткое закрепление 2-ух анемометров при помощи устройства, которое позволяет поменять расстояние меж ними контролируемым образом. Не считая того, сама эта система закрепляется на втором аналогичном устройстве, которое позволяет поменять положение пары как целого в трубе, так что воздействие конфигурации расстояния меж датчиками можно изучить в каждой точке независящим образом.
Формально эта процедура соответствует подмене переменных, т. е. мы представляем двухточечную корреляцию в виде функции переменных
, (58)
, (59)
где R – это координаты центра (либо абсолютные координаты), а r – разностные координаты (либо относительные координаты).
Аналогичное преобразование может быть выполнено для переменных по времени t и t?, при всем этом получим
, (60)
где
, (61)
. (62)
Ясно, что если положить x = x? в выражении (60), то получим одноточечную корреляцию, которой мы интересовались в наших прошлых рассмотрениях, где она встречалась как напряжение Рейнольдса. В данном случае ее зависимость от абсолютного положения точки является принципиальным свойством.
Но если мы желаем добиться фундаментального осознания турбулентности, то нам нужно сосредоточиться на том, как корреляции зависят от относительных координат. Понятно, что нам хотелось бы установить, где турбулентность является чисто детерминистическим процессом (т. е. ламинарным течением), а где стопроцентно случайным (т. е. таким, как подкидывание монеты либо бросание костей).
Ранее мы лицезрели, как могут упроститься статистические уравнения, приобретенные при помощи усреднения уравнений Навье–Стокса, при описании течения в канале. Для того чтоб изучить физику турбулентности, нам нужно сосредоточиться на простейшей нетривиальной задачке, и издавна признано, что таковой задачей является однородная изотропная турбулентность. Мы начнем с лаконичного обсуждения 2-ух подходов. Следует увидеть, что в этом пт переменные по времени нас не заинтересовывают, потому выкладки будут смотреться проще, если эти переменные не указывать очевидно.
Термин «однородность» в реальности есть сокращение от «пространственной однородности» и значит независимость средних величин от абсолютных координат для данного направления. Так, течение в канале, рассмотренное ранее, по предположению однородно по координатам x1 и x3. Но неопределенный термин «однородность» обычно применим к полям, которые являются трансляционно инвариантными во всех 3-х взаимно перпендикулярных направлениях, т. е. тот случай, который мы тут рассматриваем.
Более принципиальное применение этого ограничения заключается в том, что выражение (60) можно записать как функцию только от относительных координат, т. е.
, (63)
и аналогично для моментов более высочайшего порядка. Не считая того, корреляция не должна зависеть от подмены x на x?, т. е. является симметричной функцией r:
. (64)
Дополнительное ограничение, связанное с изотропией, определяется независимостью от направления. Формально это значит, что все моменты скорости инвариантны относительно вращения системы координат и относительно отражений от координатных плоскостей. Принципным моментом является также требование дополнительной симметрии:
(65)
Можно вывести последующие следствия из изотропии при первом рассмотрении одноточечных моментов. Можно показать, что все недиагональные элементы одноточечного корреляционного тензора равны нулю, т. е.
, (66)
а диагональные элементы все равны
, (67)
где au2n – средний квадрат флуктуационной скорости в неком направлении. Отсюда следует, что одноточечный изотропный корреляционный тензор может быть записан как
, (68)
где E – кинетическая энергия турбулентных флуктуаций на единицу массы воды, а dij – знак Кронекера.
Таким макаром, одноточечный корреляционный тензор может быть выражен через одну скалярную константу. Как мы увидим дальше, двухточечный корреляционный тензор может быть также сведен к одному скаляру, который в этом случае является уже функцией расстояния меж x и x?.
Сейчас разглядим вопрос о том, как реализуемо представление об изотропной турбулентности. Ворачиваясь вспять к результатам, относящимся к течению в трубе как обычному примеру, из рис. 4 можно созидать, что среднеквадратичные составляющие скорости очень отличаются друг от друга, как следует, соотношение (67) не производится. Схожим же образом рис. 5 указывает, что au1 u2n не равно нулю, кроме оси симметрии трубы, как следует, соотношение (66) не производится также. Отсюда ясно, что течение в трубе очень анизотропно и это относится к большинству течений, потому что наличие границ и наложенного снаружи градиента давления безизбежно приводит к выделению желательного направления.
Все это уверяет нас, что изотропные турбулентные течения нужно находить там, где имеются огромные физические объемы газа либо воды с приметной областью, удаленной от границ. Естественным примером являются геофизические течения, наблюдаемые в атмосфере либо океане.
В обратном случае течений, наблюдаемых в лабораторных критериях, можно разглядеть другой предел и сосредоточиться на вихрях малого размера, относительно которых можно возлагать, что они не подвержены воздействию жестких границ. Этого можно добиться, поддерживая расстояние меж измеряемыми точками малым по сопоставлению с масштабами длины, на которых видна неоднородность – так именуемая «локальная изотропия».
Оба подхода могут приводить к очень неплохой аппроксимации изотропной турбулентности. Но развитию предмета очень содействовало изобретение искусственного вида турбулентности. Это турбулентность, сгенерированная решеткой. Ради сокращенности мы будем ее именовать «решеточная турбулентность». Она может быть сотворена в лабораторных критериях последующим образом.
Представим, что воздух, текущий в аэродинамической трубе, проходит через ячейки решетки. Физическая ситуация, с которой мы сталкиваемся тут, такая, что пограничные слои на стенах трубы тонкие, потому большая часть потока представляет собой возможное ядро (другими словами, течение в аэродинамической трубе соответствует входной области течения в трубе). В этих критериях вихревая дорожка генерируется каждым стержнем, из которых изготовлена решетка, и при условии четкого подбора характеристик решетки бессчетные дорожки соединяются совместно вниз по течению, создавая турбулентное поле. Опыт показал, что такие поля являются приближенно изотропными (см. [Голдстейн, 1938], с. 228–229).
К огорчению, сеточная турбулентность не может быть стопроцентно однородной, потому что она затухает в направлении движения воды. Все же, переходя в систему координат, передвигающуюся совместно с жидкостью, можно сделать турбулентность математически эквивалентной изотропной турбулентности, которая свободно затухает во времени. Если движение происходит повдоль оси x1, то вышесказанного можно достигнуть, введя преобразование
, (69)
где – переменная, описывающая затухание во времени.
На практике получено, что ранешние стадии затухания могут очень зависеть от конструкции решетки, создающей турбулентность. Это не так и умопомрачительно, но можно ждать, что довольно далековато от решетки вниз по течению турбулентность будет независима от метода ее генерации и воспримет универсальный вид, подчиняющийся только уравнению движения. Опыты подтверждают это.
Ворачиваясь к двухточечным корреляциям, напомним, что можно свести девять скалярных функций, которые (в принципе) следует знать, к одной. Общий способ, который позволяет это сделать, был предложен Робертсоном (1940) и основывается на том, что изотропный тензор может быть выражен через инварианты группы вращения. Тут мы изложим только более достойные внимания моменты.
Робертсон показал, что изотропная двухточечная корреляция может быть записана в виде
, (70)
где A и B – четные функции от r = |r|. Заметим, что этот итог сводится к соответственному одноточечному, если положить r нулю.
Хотя выражение (70) удовлетворяет всем требуемым симметриям, мы можем еще привлечь уравнение неразрывности для установления связи функций A и B. Но поначалу мы выразим эти функции через продольный и поперечный корреляционные коэффициенты.
Это может быть изготовлено последующим образом. Введем две точки и направление от точки к точке, т. е. вектор, соединяющий эти две точки. В декартовой системе координат три хороших от нуля коэффициента корреляции равны друг дружке. Если основываться на системе координат, связанной с 2-мя точками, то существует два других коэффициента. Корреляция может рассчитываться повдоль направления меж точками по скорости, параллельной r, либо по поперечным компонентам uT, которые перпендикулярны r. Во 2-м случае может быть вычисление 2-ух схожих корреляций.
Продольный и поперечный коэффициенты корреляции f и g можно ввести при помощи соотношений
, (71)
, (72)
где f(r) и g(r) – четные дифференцируемые функции r, удовлетворяющие условию f(0) = g(0) = 1, также f?(0) = g?(0) = 0. Мы должны также востребовать, чтоб x = x? + r.. Можно связать f(r) и g(r) с коэффициентами A и B в (70), рассматривая особый случай, когда r ориентирован повдоль x1. Другими словами x = 0, а r = (r1, 0, 0). Тогда, полагая a = b = 1 в (70), получим
, (73)
где последний шаг следует из (71). Аналогично можно положить a = b = 2 в (70), при всем этом получим
. (74)
Разумеется, (74) дает нам связь коэффициента B с g(r), и если мы подставим этот итог в (73), то просто получим связь A с f(r) и g(r). Тогда уравнение (70) может быть записано в виде
(75)
Наш последний шаг состоит в исключении функции g(r), связав ее с функцией f(r). Мы создадим это, продифференцировав соотношение (75) по ra и привлекая уравнение неразрывности. После обычных выкладок и маленький перегруппировки членов просто находим, что двухточечная изотропная корреляция может быть выражена через одну скалярную функцию последующим образом:
, (76)
где штришок значит дифференцирование по r. Для личного варианта r = 0 можно увидеть, что
(77)
где Tr – след, т. е. сумма диагональных частей матрицы.
Два принципиальных масштаба можно найти при помощи продольного корреляционного коэффициента f(r). 1-ый – это микромасштаб Тейлора l. Это дифференциальный масштаб длины и его можно получить последующим образом. Представим, что мы разложили функцию f(r) в ряд в точке r = 0. Тогда требуя, чтоб f(r) была симметричной функцией от r, т. е. f?(0) = 0, можно написать
, (78)
, (79)
т. е. мы обусловили микромасштаб, аппроксимируя параболой корреляционную функцию в области малых r.
Продольный интегральный масштаб L определяется выражением
(80)
Можно проиллюстрировать физический смысл L (хотя и не строго), придавая экспоненциальный вид корреляционной функции. (На практике этот вид может быть очень неплохой аппроксимацией, хотя ясно, что он непригоден в точке r = 0, где мы требуем выполнения условия f?(0) = 0 из суждений симметрии.)
Только для этой цели разглядим f(r) =
= exp(–b r), где b – некий параметр с размерностью оборотной длины. Подставляя это выражение в (80), просто найдем, что L = 1/b. Другими словами, если корреляция была экспоненциальной по виду, то интегральный масштаб – это длина, на которой корреляция меняется от 1 до 1/e.
Турбулентность – это значительно нестационарное явление. Все же, можно отличать ситуации, когда средняя скорость находится в зависимости от времени, от ситуаций, когда зависимость от времени отсутствует. К примеру, ежедневным образцом этого является ситуация, когда мы пользуемся трубой для стока воды, соединенной с краном. Сейчас представим, что мы открываем и закрываем кран. Во время этих манипуляций средняя скорость воды в трубе будет изменяться с течением времени. Но если допустить, что наружные причины (установка крана, регулировка сопла либо окружающие условия) будут постоянны, то разумеется, что средняя скорость воды будет также постоянна – условие, которое мы ранее окрестили «стационарное среднее течение».
Распространение этой идеи на многовременные моменты дает нам представление о стационарности. Формально величина ua(x, t) есть стационарная случайная величина, если связанное с ней рассредотачивание вероятностей зависит только от разности моментов времени, входящих в ее определение, но не от их абсолютных величин.
В качестве примера разглядим двухточечную корреляцию. Временно опуская зависимость от пространственных координат и тензорные индексы, получим из соотношений (57) и (60):
, (81)
где t и T – соответственно относительное и абсолютное времена. Тогда, если u(t) – стационарная случайная функция, соотношение (81) воспримет вид
, (82)
при этом
. (83)
Таким макаром, стационарность – это однородность во времени.
Внедрение Фурье-анализа приводит к трем основным выигрышам. Он сводит дифференциальный оператор к мультипликативному, дает относительно ординарную картину турбулентности и позволяет найти число степеней свободы турбулентной системы. Мы начнем рассмотрение с турбулентной воды, занимающей куб со стороной L. Поле скорости (либо какая-либо другая динамическая переменная) может быть разложено в ряд Фурье последующим образом
, (84)
где волновой вектор k определен соотношением
, (85)
а n1, n2 и n3 – целые числа, по каждому из которых суммирование проводится от минус до плюс бесконечности.
Нужно увидеть, что нами употребляются однообразные обозначения для полей, независимо от того, является ли это поле физической скоростью либо ее Фурье-образом. Невзирая на то, что в математических монографиях употребляются другие обозначения, обозначения, принятые ниже, являются обыкновенными в работах подобного рода. Неурядицы при всем этом не происходит, напротив, очень комфортно представлять величину ua(k, t) как поле скорости в пространстве волновых чисел.
Мы начнем с преобразования уравнения неразрывности, потому что это позволит нам достаточно просто двинуться с места. Так как мы ограничиваемся изотропными полями с нулевым средним, то соотношение (15) можно упростить
. (86)
Тогда, подставляя (84) в (2) и проводя дифференцирование, получим
. (87)
Это соотношение должно производиться для всех exp(ik?x). Потому уравнение неразрывности воспринимает вид
, (88)
т. е. векторы u(k) и k взаимно ортогональны.
Займемся сейчас преобразованием уравнения Навье–Стокса. При всем этом придется представить поле давления тоже в виде ряда Фурье, коэффициенты ряда обозначим через p(k) по аналогии с полем скорости. После чего нужно подставить выражения для скорости и давления, записанные через Фурье-компоненты, в уравнение (5). Мы получим требуемую форму, учтя последующие моменты:
· · Любая производная по пространственным переменным заменяется при переходе к месту волновых чисел на соответственный компонент волнового вектора мультипликативно.
· · Нелинейный член является произведением в физическом пространстве, потому, согласно аксиоме о свертке, он должен перейти в свертку в пространстве волновых чисел.
В согласовании с этим, представляя переменную суммирования в свертке через j, можно записать перевоплощенное уравнение Навье–Стокса последующим образом:
. (89)
Тут и дальше полагается, что r = 1 (потому что жидкость несжимаемая). Следует увидеть, что нелинейный член после преобразования Фурье представляет взаимодействие мод c волновыми векторами j с модами c волновыми векторами j – k, в итоге которого образуются моды с векторами k. Это явление понятно как нелинейное смешение. Оно лежит в базе хаотического поведения воды.
Уравнения (88) и (89) совместно определяют две неведомых величины: скорость и давление. Можно исключить одно уравнение и одну неведомую величину и тем получить соленоидальное уравнение Навье–Стокса в виде, который является отправной точкой в почти всех современных теориях турбулентности.
Мы создадим это последующим образом. Умножим каждый член в уравнении (89) на ka и просуммируем по a. Из уравнения неразрывности в форме (88) немедля следует, что оба члена в левой части уравнения исчезают. Потому, перегруппировав оставшиеся члены, можно записать давление в виде
. (90)
Ранее мы отмечали, что давление в реальности является нелинейной величиной, оправдание этому сейчас разумеется.
Продолжая функцию вывода, подставим выражение (90) для давления в уравнение Навье–Стокса, замечая, что индекс a сейчас является немым и может быть заменен на индекс g, чтоб убрать неурядицу с обозначениями, возникшую в уравнении (89). Не считая того, используя характеристики знака Кронекера, получим совсем
, (91)
где
, (92)
. (93)
Отметим, что нами применена инвариантность нелинейного члена по отношению к подмене волновых векторов и индексов для того, чтоб записать правую часть уравнения (91) в симметричном виде, в каком употребляется оператор инерциального переноса (92). Просто проверить, что решение уравнения (91), если оно удовлетворяет уравнению неразрывности (88) в исходный момент времени, будет решением во все следующие моменты времени. Умножая каждую часть уравнения на ka, просто обнаруживаем, что левая часть уравнения, благодаря соотношению (88), исчезает. Правая часть уравнения (91) тоже исчезает, что является следствием принципиального характеристики оператора Dab(k):
. (94)
Для того, чтоб развить формализм, основанный на уравнении (91), мы должны знать кое-что об общих свойствах иерархии моментов в пространстве волновых чисел. Мы начнем с рассмотрения характеристики однородности, которое в конфигурационном пространстве x значит инвариантность по отношению к сдвигам.
Временно опуская зависимость от времени, запишем выражение для коэффициентов Фурье в выражении (84) последующим образом
, (95)
из которого следует, что двухточечная корреляция в k-пространстве может быть связана с соответственной величиной в x-пространстве соотношением
(96)
Сейчас мы воспользуемся свойством инвариантности в виде
,
и соотношение (98) можно переписать в виде
(97)
На этом шаге можно выполнить интегрирование по x, потому с учетом
корреляция в пространстве волновых чисел воспримет вид
. (98)
Таким макаром, если мы находим корреляцию 2-ух разных мод k и k?, то получим неисчезающий вклад только при условии k + k? = 0. Аналогично можно показать, что для моментов третьего порядка
(99)
и, в общем случае, свойство однородности для момента случайного порядка значит, что он равен нулю, если сумма волновых векторов, его определяющих, не равна нулю. В конце концов, для того, чтоб получить предел системы с нескончаемым объемом, мы определим тензор корреляции в пространстве волновых чисел последующим образом:
(100)
и
. (101)
Ясно, что эта процедура может быть индуктивно продолжена в направлении определения тензоров случайного порядка.
Ранее было дано куцее введение в приложение теории инвариантов Робертсона (1940) к тензору изотропных корреляций в конфигурационном пространстве. Тот же способ может быть использован к тензору изотропного диапазона (к примеру, [Бэтчелор, 1971]), который значительно проще использовать в пространстве волновых чисел, хотя тут мы только приведем окончательные результаты. Применяя те же рассуждения, что и ранее, получим итог, аналогичный уравнению (70), удовлетворяющий всем требованиям симметрии. Не считая того, используя уравнение неразрывности для исключения 1-го из скаляров, получим требуемый вид:
. (102)
Для варианта одновременных корреляций:
. (103)
Для варианта, когда корреляции не зависят от времени:
. (104)
Из выражения (102) следует, что описанный чуть повыше вид изотропного диапазона удовлетворяет условию неразрывности ka Qab(k) = 0 для случайного q(k). Эта процедура может быть всераспространена на моменты более высочайшего порядка, но так как нас интересует замыкание на уровне вторых моментов, мы не будем это делать, упомянув для полноты итог Орзага (1969), который разглядел общую делему представления изотропного момента случайного порядка при помощи скалярных функций.
Разглядим физическую интерпретацию функции q(k) и попытаемся оправдать заглавие тензора Qab(k) «спектральный». Для начала вычислим след тензора Qab(k), используя выражение (102):
. (105)
Сейчас можно связать Tr(Qab(k)) с энергией E на единицу массы воды последующим образом. Из соотношения (68) получим
, (106)
где нужное интегрирование по углам просто производится. В этом выражении E(k)dk – это вклад в полную энергию от гармонических компонент с волновыми векторами, лежащими в спектральном интервале меж k и k + dk:
. (107)
Обычно величина E(k) именуется «волновым спектром». Более формально данная величина представляет рассредотачивание энергии по волновым числам (либо по угловым пространственным частотам), потому, в силу предшествующего соотношения, можно интерпретировать величину q(k) как плотность вкладов в полную энергию в пространстве волновых чисел. Потому мы будем именовать ее спектральной плотностью.
Мы обсудили трехмерный энергетический диапазон, который является главным понятием в турбулентности, но на практике бывает более комфортным определять частотный диапазон одной флуктуирующей скорости в продольном направлении. Практически большой массив экспериментальных данных представляет из себя диапазоны этого вида, потому нам необходимо разглядеть задачку о том, как связать измеренные диапазоны с теоретическими. Как обычно, мы рассматриваем движение воды в направлении x1, а анемометр размещен в одной точке для измерения флуктуаций скорости u1. Если сигнал анемометра пропустить через спектральный анализатор, то флуктуации скорости будут разложены на гармоники по (угловой) частоте w. Потом, если выходной сигнал возвести в квадрат и усреднить, то результирующий диапазон E11(w) с необходимостью обладает последующим свойством
. (108)
Возможность выразить частотный диапазон через волновой связана всецело с догадкой «замороженной конвекции» [Тейлор, 1938]. Тейлор представил, что конфигурации u1 во времени в фиксированной точке обоснованы прохождением замороженной турбулентной структуры при условии, что средняя (набегающая) скорость, содержащая турбулентные вихри, существенно больше турбулентных флуктуаций, т. е. можно связать поле скорости в различные моменты времени преобразованием
,
и, как следует, локальная производная по времени в точке может быть заменена на конвективную производную при условии u? << U1:
. (109)
Догадка Тейлора нередко рассматривается как имеющая отношение к практике, она обширно употребляется в экспериментальных работах по турбулентности. Но в наилучшем случае эта догадка является аппроксимацией и, как следует, при улучшении техники опыта подвергается критичной оценке (см., к примеру, [Заман, Хуссейн, 1981] и [Браун, Антония, Раджагопалан, 1983]). В рамках нашего изложения уравнение (109) эквивалентно
. (110)
В согласовании с этим можно найти
. (111)
Потому из (110), (111) и (108) следует
. (112)
Таким макаром, частотный диапазон может быть связан с однокомпонентным диапазоном в пространстве волновых чисел, но только для одной скалярной переменной. Обобщение на случай 3-х измерений до боли просто и может быть найдено в книжке [Бэтчелор, 1971] либо с большенными подробностями в [Хинце, 1975; с. 208–209].
Начнем работу в этом пт с использования уравнения (91) в качестве базы формулировки трудности замыкания для изотропной турбулентности в пространстве волновых чисел. Поначалу разглядим уравнение для средней скорости. Если усреднить обе части уравнения (91), то в итоге получим
(113)
Но сейчас из уравнения (99) получаем, что
,
если j + k – j?0, и правая часть уравнения для aua(k, t)n обращается в ноль, так как Mabg(0) = 0. Этот итог конечно согласуется с нашим предшествующим наблюдением, в каком равенство нулю средней скорости (либо само мало всепостоянство по всему месту) тянуло за собой однородность и изотропию турбулентного движения. Уравнение для двухвременной корреляции можно получить умножением каждого члена уравнения (91) на ua(–k, t?) с следующим усреднением:
(114)
Не считая того, можно записать его через составляющие корреляционных тензоров. Используя выражение (100) и перейдя к системе нескончаемого размера, получим
(115)
Нашей главной целью является получение замкнутой формы уравнения (115), записанной только через Qas(k; t, t?), и это то, что мы разглядим более тщательно несколько позднее. Потому хотя и до боли просто выводить уравнения для моментов более высочайшего порядка иерархическим образом, мы не будем заниматься этим. Но можно окончить этот шаг преобразованием уравнения (115) к изотропной форме. Воспользовавшись уравнением (102) для изотропного корреляционного тензора и полагая s = a, с следующим суммированием по a, получим
, (116)
, (117)
где было применено соотношение Tr(Dab(k)) = 2.
При рассмотрении одновременных моментов ситуация очень изменяется. Для начала отметим, что вывод уравнений наименее прямолинеен, чем в двухвременном случае. К тому же на поздней стадии нам пригодятся члены более высочайшего порядка из одноточечной иерархии в очевидной форме. В согласовании с этим на этом шаге мы можем вывести эквивалент уравнения (115) и последующее за ним уравнение. Опять нашей отправной точкой является уравнение (91) для ua(k, t). Умножаем каждый член в этом уравнении на us(–k, t), но до того как усреднить его, мы выписываем 2-ое уравнение из (91) для us(–k, t), умноженное на ua(k, t), и складываем их совместно. Уравнение для одновременных корреляций просто приводится к виду
(118)
где 2-ой член в правой части уравнения получен из первого подменой k на –k и a на s.
Переходя к системе нескончаемого размера, получим
(119)
Аналогичным образом можно получить уравнение для моментов третьего порядка, образовав поначалу три уравнения из (89) для ua(k, t), ur(k, t) и us(k, t). Тогда каждое из этих уравнений множится на дополнительную пару скоростей, и после операции сложения и усреднения выходит
(120)
где 2-ой и 3-ий члены в правой части могут быть получены из первого обозначенной перестановкой. Последующие уравнения в этой последовательности можно отыскать в работе Орзага и Крускала (1968).
Дальше мы опять разглядим уравнение энергии для турбулентных пульсаций. При всем этом нужно увидеть, что сейчас мы имеем дело с ситуацией, когда средняя турбулентная энергия постоянна по месту. Потому когда мы будем рассматривать перенос турбулентной энергии, то будем подразумевать место волновых чисел. Не считая того, можно рассматривать передачу энергии от вихрей 1-го размера к вихрям другого размера – этот процесс носит заглавие энергетического каскада.
Нашей начальной точкой будет уравнение (118) для одновременной корреляции. Конкретизировать левую часть этого уравнения для изотропного варианта можно, воспользовавшись соотношением (102), которое приводит спектральный тензор к изотропному виду. После чего можно получить уравнение для энергетического диапазона E(k, t), определенной соотношением (107), которой сейчас обобщается на случай зависимости от времени. Если положить s = a, просуммировать по a и (помня, что Tr(Dab(k)) = 2) помножить каждый член уравнения (118) на 2pk2, то получим
, (121)
где нелинейный член T(k, t) определяется выражением
(122)
тут последний шаг следует из условия однородности, согласно которому момент третьего порядка не может изменяться при подмене k на –k, аоператор переноса Tabg(k) меняет символ на оборотный. Когда мы обсуждали вопрос о сохранении турбулентной энергии ранее, то отмечали, что нелинейные члены сохраняют энергию. Следствием этого будет то, что T(k, t) может только перераспределить энергию в пространстве волновых чисел, потому при интегрировании каждого члена в уравнении (121) по k, как это следует из (106), получим
. (123)
Скорость затухания полной кинетической энергии флуктуаций (на единицу массы воды) в точности совпадает со скоростью диссипации. Как следует, уравнение (123) дает нам обычное выражение для скорости диссипации e в случае изотропной турбулентности, которое можно записать последующим образом:
. (124)
Представляет энтузиазм проверить, что вклад от T(k, t) вправду исчезает при интегрировании по всем волновым числам. Это можно сделать таким макаром. Исходя из определения (93) для Dab(k), можно показать, что
, (125)
и, таким макаром,
, (126)
где временно изготовлена подмена немой переменной l = k – j. Тогда из (122), (126) и (92) следует, что можно представить интеграл от T(k, t) в виде
(127)
где немые переменные были изменены, а немые тензорные индексы оставлены. В этом месте было применено также уравнение неразрывности в виде
, (128)
из которого следует также
. (129)
Ясно, что при всем этом мы можем поменять kg в первом члене правой части (127) на kg – lg = jg. В итоге получим
. (130)
Так как каждый момент третьего порядка симметричен относительно перестановки k на j, видно, что подынтегральное выражение антисимметрично относительно этой перестановки и потому интеграл равен нулю при интегрировании по всему месту по этим переменным. Отсюда видно, что
. (131)
Позднее мы увидим, что не только лишь итог, приобретенный тут, важен, да и важен метод, которым он получен.
Высочайший уровень флуктуаций завихренности является соответствующим для турбулентных течений. Данный факт совместно с историей развития гидродинамики как самостоятельного предмета исследовательских работ очень тесновато соприкасается с вихревыми движениями, делая естественным интерпретацию турбулентности на языке вихрей. В текущее время вихревая интерпретация турбулентности может показаться недоразвитым ответвлением рассматриваемой темы исследовательских работ по сопоставлению, скажем, со статистической теорией, основанной на поле скорости. Все же она является направлением, значимость которого вырастает, в особенности при исследовании когерентных структур, также при интерпретации результатов компьютерного моделирования турбулентности. Полная формулировка вихревого способа выводит нас за границы рассматриваемой темы, потому интересующиеся исследователи могут обратиться к книжке Шорина [Шорин, 1994]. Тут мы разглядим только главные идеи. Вернемся в конфигурационное место. Так как завихренность w есть ротор поля скорости, подействуем этим оператором на уравнение (5) и получим (см., к примеру, [Бэтчелор, 1967]):
, (132)
где D/Dt значит полную производную от времени и содержит конвективные производные ub ¶/¶xb, которые действуют на wa. Это уравнение движения для завихренности.
Оно гласит нам, что скорость конфигурации завихренности находится в зависимости от взаимодействия завихренности с градиентами скорости и от ее диссипации за счет вязкости. Чтоб лучше осознать воздействие взаимодействия членов в правой части уравнения (132), разглядим вихревую трубку в направлении оси x1. Можно рассматривать эту структуру как длиннющий узкий цилиндрический элемент воды, крутящийся вокруг собственной оси, которая также размещена повдоль оси x1. Это значит, что мы принимаем b = 1 в уравнении (132) и смотрим, что произойдет исходя из убеждений физики, когда a = 1, 2, 3.
Игнорируя вязкие эффекты, разглядим сейчас случай a = 2 либо a = 3. В любом случае градиент является сдвиговым и стремится вынудить крутиться водянистый элемент. Ясно, что в итоге наша гипотетичная вихревая трубка будет стремиться развернуть свою ось в направлении x2 либо x3 соответственно. Таким макаром, воздействие подобного рода взаимодействия состоит в обмене завихренностью меж 3-мя скалярными компонентами w. Оставшийся случай соответствует a = 1. В данном случае градиент ¶u1/¶x1 является продольным, потому если он положителен, то будет растягивать вихревую трубку в направлении x1, площадь поперечного сечения трубки при всем этом будет уменьшаться. Сохранение углового момента (на единицу массы) может быть выражено в виде
,
где r – радиус вихревой трубки. Потому при уменьшении радиуса под воздействием продольного градиента угловая скорость (пропорциональная w1) будет возрастать, а совместно с ней и энергия w1 r2, определяемая масштабом r, тоже будет возрастать. Как следует, энергия преобразуется в малые масштабы.
Естественно, при всем этом нужно разглядеть вопрос, что случится, если градиент будет отрицательным. Ясно, что отдельное воздействие, содержащее отрицательную скорость деформации, будет иметь обратный эффект по сопоставлению с рассмотренным, приводя к сжатию вихревой трубки, а не к растяжению. Обсуждение этого нюанса нередко приводит к необходимости обращаться к утверждениям, относящимся к общим свойствам случайного блуждания, согласно которым расстояние меж 2-мя блуждающими точками в среднем с течением времени вырастает либо нескончаемо малый линейный элемент в среднем растягивается в однородной изотропной турбулентности ([Бэтчелор, 1952], [Кок, 1969], [Орзаг, 1970], [Коррзин, 1972], [Дар, 1976]), хотя подтверждение не может быть строго обобщено на случай завихренности либо конечную длину элемента. Но как статистический ответ приобретает некий смысл, мы замечаем, что наличие вязкости приводит к стоку энергии на малых масштабах и к необратимости. Другими словами в среднем передача энергии должна происходить в направлении малых масштабов.
Имея это в виду, следует увидеть, что существует тенденция извлекать много смысла из определенной реализации турбулентного течения, приобретенного или при помощи способов визуализации, или способом прямого численного моделирования. При всем этом нужно понять, что эта информация является единичной реализацией и не достаточно что может сказать нам о среднем поведении.
Представление об изотропной турбулентности является очень искусственным, так как просит, чтоб некое свойство, которое, естественно, находится в некий степени во всех турбулентных течениях, было доминирующим либо характеристическим, по последней мере, в неких турбулентных полях. Следствием этого является стоимость, которую мы платим за относительную аналитическую простоту изотропной турбулентности, – те трудности, которые встречаются при проверке приобретенных результатов.
До того как перейти к формулированию определенных тестовых задач в изотропной турбулентности, разглядим поначалу более типичную ежедневную ситуацию, которую представляет собой течение в трубе. В принципе было бы лучше решить замкнутую форму уравнений Рейнольдса для средней скорости с граничными критериями равенства нулю скорости на стене трубы. Так как течение в трубе может быть только при наличии градиента давления, то, естественно, нужно задать к тому же градиент давления. Для простоты возьмем его неизменным во времени, так что течение само по себе будет независящим от времени. Ввиду этого оно совсем не сложно осуществимо на практике. Для полноты описания мы можем задать рассредотачивание средней скорости на входе в трубу. В качестве обычного догадки можно взять равномерное по сечению рассредотачивание скорости на входе. Это также на физическом уровне реализуемо, по последней мере, с довольно неплохой точностью, если представить, что труба соединена с резервуаром большой емкости, хотя проще, и это обычно делается, проигнорировать «длину входа» и начать вычисления на неком расстоянии вниз по течению, где среднее рассредотачивание скорости уже не будет зависеть от исходных критерий (т. е. будет универсальным).
Значимым в этой постановке задачки будет то, что традиционная постановка описания одномерного течения в трубе может быть сформулирована до боли просто и конкретно. К тому же пророчества теории – средний профиль скорости зависимо от градиента давления – могут быть испытаны экспериментально совсем непротиворечивым и серьезным образом. И эта постановка годится для многих фактически принципиальных течений, не считая изотропной турбулентности, где наинизшим статистическим моментом является энергетический диапазон, измерить который и проинтерпретировать значительно труднее, чем профиль средней скорости.
Разглядим баланс энергии для изотропной турбулентности, определяемый уравнением (121), где член инерционной передачи энергии T(k, t) связан с нелинейной частью уравнения Навье–Стокса при помощи соотношений (122) и (101). Формально делему замыкания в теории турбулентности можно рассматривать как необходимость в определении связи меж T(k, t) и энергетическим диапазоном E(k, t). Представим, что мы имеем такую зависимость. Тогда можно увидеть, что уравнение (121) является уравнением первого порядка относительно времени, для решения которой нужно задание исходных критерий. Другими словами нам нужно проинтегрировать уравнение (121) по времени вперед при данном исходном энергетическом диапазоне
, (133)
где e(k) – некая функция, определяющая исходные значения полной энергии и скорости диссипации на единицу массы воды. Но, отвлекаясь от обсуждения, заметим, что принципиальная черта функции e(k) заключается в том, что она совсем произвольна. Это подчеркивает отличие трудности изотропной турбулентности от течения в трубе. Потому мы обязаны полагаться на то, что со временем поведение системы приобретает некую универсальность. Другими словами, мы предполагаем, что турбулентность, будучи возбуждена неким произвольным методом в момент времени t = 0, запамятывает о собственном исходном состоянии со временем тогда, когда генерация вихрей обоснована всецело нелинейными взаимодействиями. Эти взаимодействия являются общими для всех ситуаций, будучи внутренним свойством начальных уравнений, потому можно ждать, что поведение системы будет универсальным.
На практике наблюдается эта самая ситуация: автомодельное поведение наблюдается экспериментально. Мы не будем тут вдаваться в подробности, а только отметим, что подробное обсуждение этих вопросов можно отыскать в работах Бэтчелора (1971), Хинце (1975) и Монина и Яглома (1975), в том числе и случай решеточной турбулентности.
Но с нашей точки зрения действительная значимость состоит не только лишь в том, что сеточная турбулентность является изотропной, да и в том, что она содержит внутри себя рассмотренные выше характеристики независимо от того, как она была сотворена (т. е. каждый может выстроить свою свою решетку с некими уникальными параметрами), по другому говоря, эволюционирует к состоянию, которое не находится в зависимости от выбора исходных критерий.
Мы уже отмечали, что совсем не сложно сконструировать задачку о стационарной турбулентности для варианта течения в трубе. Более того, экспериментальная реализация стационарных критерий является обычный задачей, что правильно и для ряда других фактически принципиальных течений. Но это не так в случае изотропной турбулентности, если не считать приближенного локального поведения в течениях, занимающих большой пространственный объем, сопоставимый с атмосферой земли либо океаном. Можно, естественно, возлагать на то, что компьютерное моделирование достигнет этого с течением времени. Но в текущее время оценка стационарных характеристик турбулентности достигается не без проблем. Мы коснемся этого дальше, но поначалу разглядим теоретическую формулировку задачки.
Образование стационарного изотропного турбулентного поля просит некого подвода энергии, компенсирующего утраты вследствие вязкой диссипации. Потому естественно ввести понятие взбалтывающей силы, случайной по природе, которая делает случайное поле скорости в процессе воздействия на жидкость. Этот шаг оказывается очень содержательным. Смысл взбалтывающей силы состоит приемущественно в определении турбулентного ансамбля. Но для наших целей будет довольно увидеть, что выбор этот нужно производить очень осторожно, так чтоб получить в конечном итоге турбулентное поле, которое является чертой уравнений Навье–Стокса, а не случайного исходного состояния.
Разглядим уравнение движения, дополненное случайной силой с компонентами fa(k, t). Уравнение (91) тогда можно записать
, (134)
где для ублажения условию дивергентности поля скорости взбалтывающая сила должна удовлетворять условию, обобщающему соотношение (88)
. (135)
Заметим также, что взбалтывающая сила (как и другие члены в (134)) должна в реальности быть силой на единицу массы и потому иметь размерность ускорения. Все же, мы будем, помня это условие, ссылаться на нее как на силу. Можно использовать уравнение (134) для того, чтоб получить уравнения баланса энергии, как и выше. Для этого умножим каждый член на ua(–k, t) и усредним. Потом просуммируем по a, умножим на 2 p k2 и, используя выражение (107) для энергетического диапазона, получим
, (136)
которое отличается от (121) только наличием члена накачки в правой части уравнения. Для того чтоб выразить его в очевидном виде, нужно найти природу случайной взбалтывающей силы. Можно решить эту задачку, взяв за пример броуновское движение. Представим, что рассредотачивание вероятности этой силы является обычным (либо гауссовым) с автокорреляцией, подчиняющейся условию
, (137)
где Dab(k) определено соотношением (101), а функция w(k, t – t?) должна быть определена дополнительно. Заметим, что форма правой части (137) выбрана таким макаром, чтоб корреляционная функция силы была однородна, изотропна и стационарна. По аналогии с броуновским движением выберем случайную взбалтывающую силу некоррелированной по времени. Это значит, что функция w(k, t – t?) обязана иметь дельтаобразный вид поблизости t = t?:
. (138)
Это предположение полезно тем, что даже если в исходный момент корреляция по времени отсутствует, то вследствие нелинейного взаимодействия в согласовании с уравнением Навье–Стокса она появится. Для того чтоб задать W(k), мы должны вычислить последний член в правой части уравнения (136). Разглядим очень обычное разъяснение этой операции. Представим, что отклик системы для малых интервалов
|t – t?| определяется функцией Грина g(k, t – t?)
(139)
где g обладает свойством agn = g, также
(140)
1-ое из критерий (140) показывает на то, что причина не может предшествовать следствию, а 2-ое условие отражает тот факт, что секундное изменение скорости по времени определяется только интегралом от ускорения. Это свойство определяется практически только функцией g со качествами, в каких мы нуждаемся, потому подставляя (139) для ua(–k, t), можно записать член накачки (136) как
(141)
где мы использовали соотношение (137) для автокорреляции совместно с соотношением Tr(Dab(k)) = 2. С учетом уравнения (141) уравнение баланса энергии (136) воспримет вид
(142)
Стационарное состояние достигается тогда, когда член накачки (который выражает скорость, с которой случайная сила совершает работу над жидкостью) в точности тот же, что и скорость диссипации энергии за счет вязкости. В этих критериях производная по времени обращается в ноль, не считая того, представляет большой энтузиазм проинтегрировать оставшиеся члены по всем . Требуя в согласовании с (131), чтоб интеграл от T(k, t) по всем k был равен нулю, что соответствует консервативности нелинейных членов, получим
, (143)
где последний шаг следует из уравнения (124). Таким макаром, в критериях стационарности автокорреляция случайной силы может быть выражена через скорость диссипации энергии.
Рядовая интерпретация уравнения (142) сводится к тому, что энергия системы, содержащаяся в малых k (огромные масштабы), преобразуется при помощи нелинейного члена T(k, t) в огромные k (малые масштабы), где она поглощается вязкими членами. Разумеется, что нелинейный член, который представляет коллективное воздействие всех мод на моду с волновым вектором k, является необыкновенно сложным. Но вопреки этому общим эффектом от него является энергетический каскад, который позволяет сконструировать замечательно ординарную картину.
До того как дискуссировать процесс инерциального переноса, разглядим поначалу область волновых чисел, представляющих энтузиазм с этой точки зрения. В случае нижней границы это до боли просто. Самые большие вероятные вихри ограничены размером системы, потому меньшие волновые числа определяются соотношением
, (144)
где L – больший действенный линейный размер турбулентной системы. Можно ждать, что величина обрезания волновых чисел сверху определяется вязкой диссипацией. Единственные характеристики, определяющие этот эффект, – кинематическая вязкость n и скорость диссипации энергии e, потому из суждений размерности можно ввести характеристический масштаб длины
, (145)
и (для удобства в проведении последующих выкладок) соответственный масштаб скорости
. (146)
Величина, оборотная выражению (145), принимается в качестве приближенной меры очень вероятного волнового числа. Назовем ее kd
. (147)
Любопытно отметить, что если мы определим локальное (по волновому числу) число Рейнольдса на базе выше определенного масштаба, то получим
. (148)
Это гласит о том, что вязкие и инерциальные процессы имеют один порядок величины при k ~ kd.
Принципиально отметить, что меньшие волновые числа определяются нравом и размерами определенной турбулентной системы, в то время как самые большие – общими качествами, описываемыми величинами n и e. Таким макаром, отношение kd к kmin можно сделать как угодно огромным, в пределе нескончаемых чисел Рейнольдса – нескончаемо огромным. Сейчас отметим последующее: из тестов [Тейлор, 1938] понятно, что энергия определяется меньшими волновыми числами, в то время как диссипация – большими, и что даже при умеренных значениях числа Рейнольдса эти две области волновых чисел не перекрываются. Таким макаром, отсюда следует, что инерционный член (который связывает эти две области) можно сделать доминирующим в сколь угодно большой области волновых чисел за счет роста числа Рейнольдса (см. (147)), т. е. уменьшения величины меньшего (диссипативного) волнового числа. Данный факт является решающим для описания физики турбулентности, потому что он позволяет нам рассматривать инерционный перенос энергии, не беспокоясь о деталях накачки (при малых k) либо диссипации (при огромных k).
Мы приступим к дискуссии нелинейного инерциального переноса с рассмотрения уравнения (91), которое является уравнением Навье–Стокса для Фурье-компонент поля скорости. В этом уравнении нелинейный член просто интерпретировать последующим образом. Два коэффициента в разложении Фурье поля скорости с разными волновыми числами j и l = |k – j| связаны совместно таким макаром, чтоб было воздействие на коэффициент разложения с волновым числом k. Полный вклад нелинейных членов определяется суммой по всем таким взаимодействиям. Эта объединение волновых векторов в триады обычно именуется «условием треугольника» и является примером явления, известного в других областях физики (к примеру, в электронике) как нелинейное смешение.
Коллективная природа нелинейности ясна. В принципе любая Фурье-мода поля скорости связана со всеми другими модами, потому мы оказываемся перед очень сложной физической задачей. В этих критериях естественно находить некие упрощающие догадки, которые будут полезны, если сумма по всем модам будет ограничена неким ограниченным обилием волновых векторов, которое является соответствующим для этой нелинейности. Другими словами нам хотелось бы обосновать, что удаленные гармоники слабо связаны и что некая мода k будет отлично связана с модами j и l, такими, что моды k, j и l имеют один порядок величины. Другими словами, проводя аналогию, скажем, со спинами на решетке, нам хотелось бы ограничить сумму только модами, являющимися наиблежайшими соседями.
Физические базы для такового догадки можно найти, рассматривая действие нелинейности в конфигурационном пространстве. Взаимодействие 2-ух вихрей можно разложить (а) на конвективный перенос 1-го вихря полем скорости другого и (б) на разрушение 1-го вихря другим. 1-ый из нареченных эффектов приводит только к сдвигу фаз соответственных Фурье-коэффициентов и исходя из убеждений динамики несуществен. 2-ой эффект приводит к инерциальной деформации вихрей с передачей энергии к малым масштабам. Если взаимодействующие вихри очень отличаются по размерам, то с физической точки зрения очень возможно, что несущественное изменение фазы является главным эффектом. Отсюда один шаг до утверждения о том, что нелинейное взаимодействие до некой степени локально в пространстве волновых чисел.
Сейчас, ворачиваясь к уравнению энергии, мы можем интерпретировать нелинейный член потока энергии меж модами при помощи усредненного по многим модам взаимодействия рассмотренного выше типа. Объединение идеи локальности главных взаимодействий с мыслью осреднения приводит к принципиальному выводу о том, что после ряда схожих шагов энергетический каскад становится независимым от метода сотворения турбулентности. Потому энергетический диапазон в области огромных волновых чисел воспринимает универсальный вид.
Эти идеи в первый раз были сформулированы Колмогоровым в 2-ух именитых догадках [Колмогоров, 1941 а, б]. Догадки Колмогорова являются принципами подобия для энергетического диапазона и могут быть выражены последующим образом.
Во-1-х, при довольно огромных волновых числах диапазон может зависеть только от вязкости воды, скорости диссипации и фактически волнового числа. Потому, из суждений размерности, энергетический диапазон может быть представлен в виде
, (149)
где 2-ое выражение следует из (146) и (147), f – неведомая функция универсального вида, а диссипативная длина определена соотношением (145).
2-ой принцип подобия заключается в том, что величина E(k) не должна зависеть от вязкости, когда число Рейнольдса стремится к бесконечности. Просто созидать, что это приводит к тому, чтоб неведомая функция имела вид
, (150)
где a – неизменная.
Как следует, после подстановки формулы (150) для функции f(kh) уравнение (148) запишется
(151)
в пределе нескончаемого числа Рейнольдса. Приобретенное рассредотачивание именуется колмогоровским, а константа a именуется константой Колмогорова. В теоретических работах нередко употребляется спектральная функция q(k) заместо E(k). Из суждений удобства воспользуемся соотношением (107) , при всем этом получим для q(k):
. (152)
Для огромных, но конечных чисел Рейнольдса можно постулировать существование инерционной подобласти волновых чисел, таких, что
,
в какой диапазон, задаваемый формулой (151), не находится в зависимости от вязкости. При всем этом можно переписать соотношение (150) в виде
, (153)
где F – другая универсальная функция, удовлетворяющая условию F(0) = 1, в итоге чего формулу (149) можно записать в виде
(154)
для 2p/L << k, которая асимптотически стремится к выражению (151) в инерционной подобласти волновых чисел. Для функции нет принятого выражения, но, как мы увидим позднее, экспериментальные данные подтверждают экспоненциальный закон.
Сейчас отметим последующее. Разные резоны и догадки, выставленные в этом пт, относятся не только лишь к математической идеализации изотропной турбулентности. Вправду, обычно утверждается, что, так как каскад предшествует очень небольшим масштабам, преобразование флуктуаций скорости в флуктуации давления (и напротив) будет приводить к выделению желательного направления, которое потом сглаживается. Таким макаром, при условии, что рассматриваемые вихри малы по сопоставлению с некой пространственной неоднородностью течения, можно мыслить для себя «локальную изотропию». В этих критериях (которые снова приводят к тому, чтоб число Рейнольдса было довольно велико) можно ждать, что колмогоровский диапазон применим также и к сдвиговым течениям.
Было изготовлено много попыток вывести замкнутую форму уравнений для энергетического диапазона. Ситуация практически очень похожа на ту, что была описана в ранее в связи с уравнениями для одноточечных моментов с аналогичным многообразием применяемых ad hoc способов. Как и в этом случае, понятие об действенной (либо турбулентной) вязкости оказалось очень пользующимся популярностью. Мы обсудим способ действенной вязкости Гейзенберга [1948 a, b] в качестве презентабельного примера.
Начнем с того, что перепишем уравнение (121) для энергетического диапазона в виде
(155)
где подробная структура выражения S(k, j, |k – j|) может быть получена из выражения (122), хотя тут нам необходимо только знать, что оно антисимметрично относительно перестановки знаков k и j. Простой метод замыкания этого уравнения заключается в том, что T пропорционально E.
Можно привести некие оправдание в пользу принятого догадки. Проинтегрируем каждый член уравнения для диапазона до некого случайного волнового числа k?, тогда
,
(156)
где интеграл от S по области 0 ? k, j ? k? исчезает (см., к примеру, уравнение (131)). После чего воздействие нелинейного члена в рассмотренном выше уравнении можно проинтерпретировать как перетекание энергии от мод k ? k? за счет инерциальной передачи к волновым числам k ? k?. В согласовании с этим, если мы желаем смоделировать процесс перетекания энергии по аналогии с вязкой диссипацией, введем эффективную турбулентную вязкость при помощи догадки о том, что передача энергии может быть записана последующим образом:
, (157)
где n(k?, t) – кинематическая вихревая вязкость, которая представляет итог интегрирования по волновым числам от k? до бесконечности. Это означает, что мы ищем выражение для вихревой вязкости, которое содержит таковой интеграл. Потому напишем
, (158)
где неведомая функция может быть определена при помощи анализа размерности
, (159)
где A = const. Как следует, вихревая вязкость по Гейзенбергу определяется выражением
. (160)
Эти уравнения были решены только для стационарного варианта (см. [Бэтчелор, 1971]). Отметим только-только результирующий диапазон сводится к колмогоровскому закону «–5/3» в инерциальной области волновых чисел, но ведет себя как k–7 в диссипативной области. Как понятно, этот последний закон поведения неправилен, потому что экспериментальные результаты демонстрируют, что энергетический диапазон при огромных волновых числах спадает экспоненциально, т. е. резвее хоть какой степени.
Разглядим опять уравнение (121) для энергетического диапазона, но сейчас будем интересоваться детализированной структурой правой части уравнения и иерархией моментов, которая (в принципе) определяет T(k, t). Из уравнения (122) мы лицезреем, что T(k, t) может быть выражена через тройную корреляцию, которая в свою очередь может быть определена из уравнения (120) через момент 4-ого порядка. Другими словами если мы кратко запишем правую часть (120) в виде
, (161)
то формально можно записать решение уравнения (120) в виде
.
(162)
На этом шаге мы вводим догадку о квазинормальности [Прудман и Рид, 1954], [Тацуми, 1957], которая утверждает, что все моменты четного порядка связаны так же, как и для обычного рассредотачивания.
Заметим, что предположение о квазинорамальности существенно более слабенькое утверждение, чем утверждение о нормальности поля скорости, которое нефизично, так как не согласуется с существованием тройной корреляции, которая, как мы лицезрели, несет ответственность за передачу турбулентной энергии. Напротив, предположение о квазинормальности прекрасно подтверждается экспериментально [Френкель, Клебанов, 1967], [Ван Атта, Чен, 1969], [Ван Атта, Чен, 1970], [Френкель, Клебанов, 1973], потому что наблюдается эта самая связь меж корреляциями четного порядка, если пренебречь маленьким разбросом измеряемых результатов.
Догадка квазинормальности применена для замыкания иерархии уравнений, потому что позволяет выразить моменты 4-ого порядка в правой части уравнения (120) через произведение моментов второго порядка. Если мы обозначим момент 4-ого порядка через a1, 2, 3, 4n, то для обычного рассредотачивания получим
.
Применение этого соотношения к каждому из моментов 4-ого порядка в правой части уравнения (120) приводит к возникновению 9 таких произведений моментов второго порядка – степень алгебраической трудности, которая может показаться очень большой. Но на практике, напротив, это событие не является таким уж нехорошим, как может показаться на 1-ый взор. Не тяжело созидать, что три таких члена обращаются тождественно в ноль. А из 6 оставшихся два члена можно соединить в один, как в конечном счете и четыре других, оставляя только два члена в конце вычислений. Начать можно с первого члена в правой части (120):
(163)
Если мы факторизуем квадрупольный момент в согласовании с нашими догадками, то получим
(164)
Сейчас воспользуемся условием однородности для моментов второго порядка (см. соотношение (98)):
· · В первом произведении из условия однородности j – k – j = 0 следует k = 0. Но Mabg(k) = 0 для k = 0, потому этот член равен нулю.
· · Во 2-м произведении условие однородности имеет вид k + l + p = 0.
· · В 3-ем k + l + p = 0.
Как следует, суммируя по j (т. е. заменяя j на –l во 2-м произведении и на –p в 3-ем), пользуясь соотношением (100) для тензора парных корреляций и условием симметрии оператора инерционной передачи относительно перестановки последних 2-ух индексов, мы преобразуем предшествующее выражение первого члена в правой части уравнения (163) к виду
.
Можно применить тот же способ к другим моментам 4-ого порядка, при всем этом из (163) получим
(165)
Сейчас можно получить замкнутую форму для T(k, t). Но поначалу мы заметим, вспоминая (122), что нам необходимо знать Qbga(j, k – j, –k, t) и, как следует, Hbga(j, k – j, –k, t). Делая перестановки, подобные (165), получим
(166)
На этой стадии ограничимся изотропным случаем, т. е. воспользуемся уравнением (102) для того, чтоб выразить спектральный тензор через операторы проектирования и скалярную спектральную плотность Q(k, t). В согласовании с этим, выражая рассмотренное выше соотношение в изотропном виде и подставляя в (122), можно T(k, t) переписать в виде
(167)
Это выражение можно упростить еще, замечая, что при интегрировании по j переменная k – j может быть заменена на j. Так в последнем члене уравнения (167) мы можем поменять k – j на j. Алгебраические подробности можно отыскать в [МакКомб, 1990], где показано, что (167) сравнимо просто приводится к
(168)
где
(169)
а m – косинус угла меж векторами k и j. Формально уравнение (121) дает замкнутое уравнение для энергетического диапазона, если в него подставить выражение (168) для T(k, t). Но для того чтоб быть поочередными и подтвердить то, что выходит обычно на практике, мы будем работать в определениях спектральной плотности Q(k, t). Потому подставим (168) в (121), разделим обе стороны на 4pk2 и, используя обобщение уравнения (107) для введения спектральной плотности в левой части уравнения, получим замкнутое приближение, основанное на догадке квазинормальности:
(170)
Если положить, что Q(k, t) задано при t = 0, уравнение (170) можно проинтегрировать по времени для варианта свободно затухающей турбулентности. К огорчению, вопреки тривиальной обоснованности природы главных догадок, при численном решении (170) ([О’Брайен, Френсис, 1962], [Огура, 1963], критичный обзор [Орзаг, 1970]) было получено, что Q(k, t) становится отрицательной при неких значениях волнового числа k. Естественно, не видно обстоятельств, почему бы приближенной теории не нарушать в некой малой степени применимость исходных догадок. Но неувязка квазинормальности заключается в том, что приобретенный эффект не является малым.
Это рассмотрение квазинормальности представляет не только лишь исторический энтузиазм. При выводе уравнения (170) мы пользовались алгебраическими выкладками, которые многие исследователи считают очень пугающими, при столкновении с современными аппроксимациями в дилемме замыкания. Таким макаром, итог будет полезным в предстоящем изложении.
Ранее мы ввели одномерный диапазон E11(k1), который определен на интервале –? ? k1 ? ? и связан со среднеквадратичной скоростью соотношением (112). На практике экспериментатор нередко употребляет функцию F(k1), которая определена на интервале 0? k1 ? ? и удовлетворяет условию
. (171)
Разумеется, что F(k1) равна двойной E11(k1), но ради простоты будем следовать практике экспериментаторов при представлении результатов.
Рис. 7. Измеренные одномерные диапазоны для широкого спектра
чисел Рейнольдса и физических ситуаций: – Стюарт и Таунсенд (1951), – Уберой и Фреймут (1969), – Комте-Беллот и Коррзин (1971), – Чампэйн, Харрис, Коррзин (1970), > – Лауфер (1954),
i – Уберой и Фреймут (1969), – Коантиц и Фавр (1974),
o – Грант и др. (1962)
На рис. 7 представлены экспериментальные данные для F(k1), приобретенные из многих отличающихся друг от друга экспериментальных ситуаций: от лабораторных исследовательских работ в аэродинамических трубах до традиционных морских исследовательских работ Гранта и др. (1962) в каналах с приливом и отливом. Так как физические источники данных настолько различны (а мы интересовались только мелкомасштабной структурой), то любая совокупа данных характеризовалась числом Рейнольдса Rl, определяемого по микромасштабу Тейлора:
, (172)
где u – среднеквадратичная скорость, n – кинематическая вязкость, а микромасштаб Тейлора определен соотношением (79). Можно созидать, что диапазоны построены в переменных Колмогорова, определенных формулами (146) и (147) и построены относительно безразмерной переменной k/kd.
Ясно, что диапазоны при огромных волновых числах сходятся к универсальной кривой, подтверждая тем первую догадку Колмогорова о подобии, которая подытожена соотношением (149). С ростом числа Рейнольдса также видно, что диапазоны показывают повышение области (по волновым числам) универсального поведения с тенденцией асимптотического отхода от закона k–5/3 (предсказанного во 2-ой догадке подобия Колмогорова: см. (149)) при малых волновых числах. Таким же образом можно отметить, что неизменная асимптота каждого диапазона при малых волновых числах – это в чистом виде артефакт, возникающий как следствие одномерности диапазона, который является неполным отображением трехмерного диапазона. Исходя из убеждений физики это значит, что часть F(k1), относящаяся к малым k, подвержена сильному воздействию выравнивания от огромных волновых чисел, передвигающихся под углом к оси x1 (см. [Теннекес, Ламли, 1972]).
Константа пропорциональности a в диапазоне Колмогорова длительное время была целью теоретических пророчеств, потому ее экспериментальная величина так принципиальна. Для начала заметим [Бэтчелор, 1971], что из колмогоровского диапазона следует
. (173)
Требуя, чтоб F(k1) приравнивалось удвоенному E11(k1), убеждаемся, что измерение спектральной функции
(174)
указывает, что константа (151) определяется соотношением
. (175)
Результаты Гранта и др. (1962), которые можно рассматривать как более надежные, дают a1 = 0,47 ± 0,02. Как следует, a = 1,44 ± 0,06. Другие исследования дают несколько хороший итог, но все исследователи в этой области говорят, что величина этой неизменной находится поблизости 1.5.
Но это согласие не является единодушным. Кречнан (1966) показал, что неизменная зависит о того, где выбирается граница меж инерционной и диссипативной областями. Обычно она определяется соотношением k = 0,1 kd, но, как видно на рис. 7, это время от времени тяжело сделать довольно аккуратненько. Разумеется, мы можем сделать это с аналитическим видом, который можно отлично подобрать в обеих областях волновых чисел. Были предложены разные модели и связи для заслуги этой цели. Возможно, более популярная из их – это аппроксимация Пао (1965).
Значительно, что аргументы Пао заключались в том, что скорость, с которой энергия передается в пространстве волновых чисел, имеет ту же зависимость от вязкости, что и энергетический диапазон. Так отношение этих 2-ух величин не находится в зависимости от вязкости: это правильно в инерционной области (в колмогоровском представлении) и, как следует, в этой области выходит закон Колмогорова «–5/3». Если эту догадку распространить на область диссипации, то получим, что выражение (154) перейдет в
, (176)
которое, как указывает рис. 7, прекрасно согласуется с тестом. Это основное предположение в работе Пао оказалось совсем не оценено и не представлено тут в качестве спектральной теории (хотя были изготовлены пробы ее усовершенствовать [Пао, 1968], [Теннекес, 1968], [Лин, 1972] либо распространить ее на малые волновые числа [Дрискол, Кеннеди, 1983]). Значительно, что это оказался неплохой путь анализа экспериментальных результатов. А с нашей точки зрения более заслуживает внимания в этом анализе метод, при помощи которого он завлекает внимание к тому факту, что величина a, большая 2,2 (либо может быть еще более), не совместима с данными: см., а именно, [Гибсон и др., 1970].
Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов