Модель розвитку популяції мікроорганізмів
У Декартовій системі координат виділимо елементарний об’єм органічного середовища dV=dx1dx2dx3. Приріст маси (кількості) основних мікроорганізмів в цьому об’ємі за час dt дорівнює:
dm = (dci/dt)dxi dx2 dx3 dt. (3.175)
Ця зміна маси мікроорганізмів в основному відбувається по трьом причиною: перша, за рахунок природного розмноження або загибелі, друга, за рахунок міграції мікроорганізмів через їх неоднорідність розподілу їх маси і, третя, за рахунок міграції мікроорганізмів через неоднорідність ефективності життєдіяльності мікроорганізмів або нерівномірності умов життєдіяльності.
Приріст маси мікроорганізмів за рахунок розмноження і загибелі їх, як це було прийнято в другому розділі, приймемо пропорційним щільність їх маси, тобто рівним:
dm = KiCidxi dx2 dx3 dt, (3.176)
де ki-коефіцієнт пропорційності.
Розглянемо тепер зміну маси мікроорганізмів в елементарному об’ємі за рахунок природної міграції через нерівномірність роз-
поділу їх щільності. їх потік через елементарну площу dx2dx3, перпендикулярну до осі хь за час dt дорівнює:
pi =-ydpi/dxb (3.177)
де у — коефіцієнт пропорційності введений раніше.
Цей потік через перетин (1) з координатою X] втікає і через перетин (2) -(xi+dxi) витікає, і в елементарному об’ємі накопичується маса мікроорганізмів, рівна [(ydpi/dxi)-(ydpi/dxi)i] dx2 dx3 dt. Враховуючи, що dxL величина нескінченно мала, для приросту мікроорганізмів в об’ємі dV за час dt через майданчик dx2dx3 за рахунок нерівномірності їх щільності розподілу отримаємо:
dm = d(ydpi/dx1)/(dx1 dx; dx2 dx3 dt).
Аналогічними міркуваннями отримаємо накопичення мікроорганізмів через майданчик dx, dx3:
dm = d(ydpi/dx2)/(dx2dx! dx2dx3 dt), де і — майданчик dxi dx2:
dm = d(ydpi/dx3)/(dx3 dxi dx2 dx3 dt).
Сумарне накопичення через всі три майданчики дорівнює:
Idin= {d(y dp і /dx і)/ dx | + d(ydpi/dx2)/dx2 + d(ydpi/dx3)/dx3}dx! dx2dx3dt. (3.178)
Аналогічно, отримаємо накопичення маси мікроорганізмів в елементарному об’ємі dV=dxidx2dx3 за елементарний час dt за рахунок нерівномірності умов життєдіяльності:
Sdm={d(yepidpe/dx1)/dx1+d(yepidpe/dx2)/dx2+d(ycp1dpe/dx3)/dx3}dx]dx2dx3dt. (3.179)
Враховуючи співвідношення (3.175), (3.178), (3.179), отримаємо рівняння розвитку популяції мікроорганізмів в органічному середовищі з урахуванням їх розмноження, загибелі і міграції за рахунок нерівномірності розподілу їх щільності за об’ємом і щільність ефективності життєдіяльності мікроорганізмів.
dpi/dt=k1p1+(d(ydpi/dx1)/dx1+d(ydpi/dx2)/dx2+d(ydpi/dx3)/dx3} —
— (d(yepidpe/dxi)/dxi+d(yepidpe/dx2)/dx2+d(yepidpe/dx3)dx3}. (3.180)
Для вирішення цього рівняння задаються початкова умова:
рі(х,0) = Рю(х), хєУ, (3.181)
де рю(х) — задана функція просторових координат, і гранична умова у вигляді:
dpi(x, t) + bdpi(x, t)/an = с, хє S (3.182)
де S — поверхня, що відмежовує об’єм V,
d(p)/dn — похідна по зовнішній нормалі до поверхні S,
а, Ь, с — задані функції координат і часу.
Якщо в умові (3.32) прийняти Ь=1, а=с=0, то отримаємо dpi(x, t)/dn=0 на поверхні S. Це відповідає фізичному сенсу завдання, коли через кордон S об’єму V мікроорганізми не можуть проникати і тому нормальна складова їх потоку дорівнює нулю. Сама межа нейтральна для мікроорганізмів.
Якщо покласти, що а=1 і Ь=с=0, то pi(x, t)=0 на межі S області V. Це відповідає випадку, коли на межі S мікроорганізми зникають і їх щільність дорівнює нулю, межа шкідлива для мікроорганізмів, і вони на самій поверхні S безперервно знищуються.