Аналіз методів оптимізації технічних систем
Оптимальне рішення можна визначити, якщо прийняти ряд обмежень, у рамках яких проводиться відповідний пошук. Тому вибір оптимальних параметрів технічних систем (пристроїв) припускає тією чи іншою мірою компромісне рішення [440].
Екстремум критерію оптимізації Ф(х) можна визначити декількома шляхами. Найбільш рекомендовані наступні.
Розглядається однокритеріальна задача. Отже, критерій Ф(х) вибирається у якості основного, а інші приймаються як обмеження. У цьому випадку екстремальне значення Ф(х) перебуває в рамках цих обмежень і в певній області простору параметрів.
В іншому випадку замість єдиного узагальненого критерію Ф(х) виходять із декількох суперечливих показників Фі(х), Ф2(х),…,Фк(х), кожний з яких не повністю відображає характеристики машини. Тому для переходу до узагальненого критерію Ф(х) необхідно звернутися до співвідношення:
Ф = £г. Ф.. (8-9)
s=l
де s=l,2,…,k;
Ps — призначувані розроблювачами вагові коефіцієнти (функції).
Шлях пошуку оптимуму наступний. Виходячи з даних PsU встановлюється, що отримане значення Ф(х) і модель машини нас не влаштовують. У такому випадку задається новий набір Psi, знову визначається екстремальне значення хА і, отже, Ф(х) і т. д. При суперечливості пред’явлених до машини вимог остаточне рішення можливо на основі компромісів між варіантами Ф8.
Припустимо, що є п елементів даної установки і можливі m позицій для установки елементів. Крім того, відома вартість Пу призначення і-го елемента на j-ту позицію. Необхідно визначити для кожного елемента всієї множини елементів об’єкта таку пози
цію, щоб загальна вартість розміщення всіх елементів була б мінімальною. Формулювання математичної задачі полягає в мінімізації функцій всіх перестановок Р:
F=minp(1)Xnip(1)’ (81°)
де Р(і) — призначення деякої позиції і-го елемента.
Можливий інший критерій оптимізації, а саме вартість зв’язку елемента. У цьому випадку звертаються до квадратичної задачі о призначеннях. Будемо вважати, що відома вартість Су одиниці зв’язку між елементами і та j, які призначаються на позиції Pq та Pq. Відстань між відповідними позиціями позначимо через LpqPq. У такому випадку мова йде про мінімізацію вираження:
G = minp р VcHLp р. (8.11)
p(i)p(j) t—t U P(i)P(j) v 7
и
Іноді може стояти більш складне завдання, а саме оптимізація по двом зазначеним вище критеріям. Математично це формулюється наступним чином:
Пошук оптимального варіанта розміщення елементів об’єкта завершується, коли розглянуті всі перспективні варіанти рішення №
Ко„=тіП|Е]ХПі = п..>
де Пм — верхня гранична оцінка на даному етапі пошуку варіанта розміщення елементів об’єкта.
Для наступного типа пошуку характерно те, що по мірі накопичення інформації про можливості розробляємо!’ машини ускладнюється і удосконалюється постановка задачі. При цьому з урахуванням використовуваної інформації деякі вимоги ослаблюються, інші — посилюються.
Викладемо метод вибору оптимальних параметрів машин, заснований на дослідженні простору параметрів шляхом рівномірно-
го його заповнення точками Xj, j=l,2,…,n, по всьому об’єму [439]. У кожній з точок Xj обчислюються всі Ф8, s=l,2,…,k. Отримана інформація використовується в процедурі вдосконалення задачі і пошуку оптимального рішення.
Для оцінки ступеня рівномірності розподілених послідовностей доцільно звернутися до методу, розробленому 1.М. Соболем [177]. Багатомірні точки Xj={Xj,…,xnj} послідовності знаходяться по співвідношенням
Xij=xHi + qij(xBi — хн0, i=l,2,…,n, j=l,2,…,N,
де хві, хні — відповідно верхня і нижня границя варіювання і-го параметра,
N — ЧИСЛО пробних ТОЧОК рівномірно розподіленої ПОСЛІДОВНОСТІ X]… Х]г,
о < qij < 1.
При обчисленні Xj і Цу доцільно вибирати N=2m, де m — ціле число. Далі рекомендується послідовно переходити в околицю точок, де отримані найкращі результати, поступово уточнюючи границі хвІ5 хн, Для звуження простору пошуку слід використовувати додаткову інформацію, отриману шляхом дослідження спрощених залежностей або наближених рішень.
Для характеристик модулів з точки зору їх близькості до найкращого результату по обраному критерію оптимальності вводять порівняльні оцінки:
де тіпФ8 — найменше значення Ф8 зі всіх отриманих при обчисленнях (попередньо приймаємо, що всі критерії бажано мінімізувати).
Очевидно, що одна і та ж модель установки у загальному випадку не є найкращою за всіма показниками Ф8. Тому слід іти за шляхом компромісного варіанту, встановлюючи бажаний допуск відхилення Ф8І від Ф8: 1< Д < l+AAj.
Пріоритетне значення того або іншого показника Ф8 визначається величиною Д. При цьому, чим важливіший показник, тим менше значення AAj. Якщо потрібно виразити не лише параметри,
але і структурну схему установки (один з декількох варіантів схем), то викладений метод оптимізації послідовно застосовується до кожної із структур. Заслуговує на увагу метод оптимізації параметрів за допомогою багатомірних таблиць випробувань. Відповідно до цього методу приводиться система рівнянь, що описують поведінку моделі: F(ym, x)=0, де ут — змінні процесу; т=1,2,…,п; х ={хь х2,…, хп) — параметри, що підлягають вибору. При цьому параметри х вибирають в прийнятих межах:
0 <xHj<Xj <xBj, j=l,2,…,n. (8.14)
На поведінку моделі накладаються обмеження у вигляді S(ym, x)<0, відповідно до яких в прийнятих межах (1.14) проводиться пошук рішень в області G(x).
Оптимізація аналізованих моделей визначається цільовими функціями ФІ5 і=1,2,…,к. Оптимальні параметри моделі знаходяться наступним чином.
Безперервна множина G(x) замінюється дискретною G(xb x2,…,xN), де всі xN, що характеризують моделі, належать області G(x) і представляють рахункову множину.
Оптимальне рішення приймається як результат компромісу по всіх ФА:
extr Фі(х) = Фі(х0рО,
де xopt — оптимальна модель, яка визначається на підставі багатомірних таблиць випробувань.
Таблиця випробувань представляє собою упорядковану щодо кожного критерію оптимізації множину моделей xN, отриманих у результаті заміни множини G(x) дискретною множиною G (хь x2,…,xN).
Перехід до дискретної множини моделей передбачає квазірів — номірний огляд простору параметрів, що робиться з використанням ЛП-пошуку [441]. Будучи аналогом статистичного методу, ЛП — пошук відрізняється від останнього тим, що не вимагає перевірки якості випадкових або псевдовипадкових чисел; дає можливість повторити експеримент, у тому числі при різних вихідних даних; номер випробувань однозначно визначає набір параметрів, тобто модель. Остання особливість ЛП-пошуку дає можливість обчислити будь-яку кількість додаткових цільових функцій, ЩО ВВОДЯТЬСЯ в розрахунок на наступних стадіях. Помітимо, що подальше вдосконалювання моделей можна засновувати і на інших методах оптимізації з початковими точками, які обираються з таблиць випробувань після ЛП — пошуку. В останні роки для оптимізації складних систем застосовується теорія графів. Структурний аналіз і оптимізація вихідної схеми базуються на таких положеннях. Варіанти схеми приведені у вигляді параметричних графів, які складаються з п різно — параметричних дуг S=(Sb S2,…,Sn) і m простих контурів (LbL2,..,Lm). Задача оптимізації полягає в тому, щоб визначити у вихідному параметричному потоковому графові множину параметричних дуг S*=(Si, S2,…,SP), S*eS, р < m, з мінімальною сумою па — раметричностей. При цьому не існує іншої підмножини ReS*, R^S*, яка має ті ж властивості. Мінімальна сума параметричностей визначається співвідношенням m=p=min.
Для математичної постановки задачі розрахунку технічного пристрою аналізованої системи пропонується використовувати її топологічну модель у вигляді структурного графа. Вершини цього графа характеризуються вузловим значенням тиску р, виміряного відносно базової вершини графа, у якості якої обирається атмосферний тиск р0.
Дуги структурного графа відображають значення двох змінних: послідовної (витрати потоку) і паралельної (рівність тиску по кінцях дуги).
У конкретних випадках для виконання розрахунків слід використовувати дводольний граф і інформаційний граф, який будується по відповідним орієнтованим дводольним графам. Вершини інформаційного графа відповідають рівнянням математичної моделі, а також джерелам і приймачам інформації. Галузі інформаційного графа відображають інформаційні потоки, які відповідають інформаційним змінним системи рівнянь.
Задачу оптимізації синтезу технічної системи можна сформулювати наступним чином. Нехай будуть задані: тип технічної системи, а також типи елементів розглянутої системи, сукупність яких
може забезпечити виконання системою своїх функцій. Необхідно визначити топологічну систему, параметри елементів і потоків, які забезпечують оптимум коефіцієнта ефективності синтезованої системи з урахуванням вихідних обмежень.
Один з перспективних шляхів оптимального синтезу заснований на методі галузей і границь. Будемо вважати, що ставиться задача знаходження нижньої оцінки шуканої функції (наприклад, загальна вартість всієї системи по наведених витратах), тобто мінімум функції j/, що характеризує критерії ефективності системи. Проводиться декомпозиція вихідної множини рішень на підмножи — ну, тобто вихідна множина гілкується. На кожній підмножині визначається нижня оцінка для j/. Ті множини, де оцінки вище, тимчасово відкидаються і пошук оптимального рішення триває на тій підмножині, де оцінки нижче. Отримані результати для різних під — множин порівнюють і операцію повторюють доти, поки безпосереднім перебором задача не буде вирішена. Одним з різновидів методу галузей і границь є метод оптимального синтезу на дереві рішень. У цьому випадку оптимізація проводиться способом пошуку з поверненням, заснованим на так званому "а, Р-відсіканні" [439].
Задача синтезу технологічної системи як задача про призначення вирішується з використанням двочасткового графа. Ставиться задача знайти таку сукупність елементів зваженої матриці призначень ||А||=||(Хц||, яка відповідає матриці призначень, ||Z||=||Zij||, що відображає оптимальний синтез системи. Це положення може бути записано наступним чином:
за умови
1, якщо і — й потік взаємодіє 3 j — м потоком 0 — в іншому випадку.
Можлива і інша постановка задачі. У якості критерію ефективності обираємо енергетичні показники. Необхідно для графа знайти найбільш короткий шлях (по мінімуму сумарної маси вхідних в нього дуг), тобто мінімізувати функцію
Е==ХХЕцхи
1 j
для всіх і, j в мережі, і < х, jex, і=1,2…, n; j=l,2,…,n; п — номери вершин;
Ец — вага дуги, тобто втрати первинної ексергії, відповідній даній дузі з вершинами і та j;
її, якщо і, j входять у розглядаємий шлях 1J [0 — в іншому випадку.
У кожному конкретному випадку залежно від постановки задачі і вибору цільової функції використовують той або інший метод оптимізації досліджуваного технічного пристрою.