Геометрия Лобачевского и принцип геометризации
В 1826 г. Н. И. Лобачевский доложил на заседании Отделения физико — математических наук Казанского университета о своей новой геометрии. Несколько позже с такой же теорией выступил Я. Больяй. Полное признание геометрии Лобачевского произошло через 42 года в 1868 г., когда Э. Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского имеет место и на псевдосфере, или гиперболической поверхности. С тех пор геометрия Лобачевского называется гиперболической, в противоположность эллиптической геометрии Г. Ф. Римана (1854 г.) (не смешивать с общими римановыми геометриями) и параболической геометрии Евклида — все три имеют прямое отношение к «солитонно-вихревым» структурам фракталов энергии в масштабах квантового вакуума. Фактически Лобачевский ввёл в математический анализ геометрическую границу существования рассматриваемой идеи, названную «кругом Лобачевского». Вследствие необычайной плодотворности его геометрия позволила провести анализ квантового вакуума благодаря наполнению «круга» физическим содержанием введённого нами понятия «границ диапазона геометрических масштабов наблюдаемости» химикофизических свойств материи-энергии. В концепции двух видов энергии граница круга Лобачевского имеет геометрическое и физическое содержание горизонта наблюдаемости свойств энергии, поскольку круг — это достаточно «плоский» участок сферической оболочки солитона.
Примечание. Приведённые термины — эллиптическая геометрия, гиперболическая и параболическая — характеризуют уравнения т. н. «абсолютов» неевклидовых геометрий в плане теории групп в проективной геометрии (7, с. 399). В анализе квантового вакуума необходимо задействовать одновременно все геометрии, идея взаимосвязанности которых изложена Клейном в «эрлангенской программе». Мы используем «экзотические», для инженеров, термины, только с целью указания «математических точек роста идей» для будущего более глубокого анализа свойств квантового вакуума.
Трёхмерное пространство Лобачевского-Бельтрами имеет отрицательную кривизну (-1/№). Поэтому мы рассматриваем геометрию Лобачевского и Бельтра — ми как геометрию вихря. Трёхмерное пространство Римана имеет положительную кривизну 1 R1. Поэтому рассматриваем геометрию Римана как геометрию солитона. Пространство Евклида занимает промежуточное положение, в котором радиус кривизны имеет бесконечно большое значение R-*оо. Это позволяет рассматривать геометрическую модель сконденсированной энергии как геометрию плоского участка пространства (одного из мгновенных состояний энергии в периодических преобразованиях системы «вихрю юояитон»). Оно ограничено «кругом Лобачевского» как границей наблюдаемости событий в круге достаточно малого радиуса г, вырезанного в оболочке сопряжённых вихря и солитона с радиусами кривизны R.
Все три пространства, очевидно, разнородны, но при определённых условиях должны быть однородными. Уточним эти условия. Пространства становятся однородными лишь периодически в процессе взаимных преобразований разных геометрий друг в друга, по существу одной «переменной геометрии Клейна», совершаемых в определённой последовательности, т. к. не существуют одновременно. Они должны быть взаимно сопрягаемы (в общем случае по-разному). Эго отдельные одноимённые («достаточно однородные») образы «переменной геометрии», периодические преобразования которых растянуты во времени, существовавшие в прошлом или будут существовать в будущем. Они обладают другими интересными свойствами, необходимыми для анализа взаимосвязанных элементарных геометрических структур энергии внутри фрактала одного диапазона масштабов. Фрактал составлен из взаимосвязанных, несмотря на индивидуальные различия в масштабах одноимённых структур и явную разнородность солитонов, эллипсоидов, гиперболоидов или вихрей, а также их промежуточных вариаций, разнородности которых мы отождествляем с разными геометриями (7, с. 397-399, 528-531, 717, 742-743).
Находясь внутри фрактала в разных масштабах в его геометрических структурах, элементарные структуры энергии разных геометрий взаимно преобразуются в строгой последовательности вследствие действия закона сохранения энергии во всём бесконечно широком диапазоне геометрических масштабов квантового вакуума Содержание «строгой последовательности» характеризуется константами Мироздания ж, е, h и А (числа Авогадро).