ИЗГИБ
Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент в сечении—единственный силовой фактор, а поперечные и нормальная силы отсутствуют, то изгиб называется чистым. В других случаях изгиб называют поперечным. Брус, работающий на изгиб, часто называют балкой.
При расчете балок на изгиб прежде всего определяют внутренние силовые факторы в сечениях балок (изгибающие моменты Мтг и поперечные силы Q). Для этого первоначально определяют опорные реакции и далее строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, пользуясь методом сечений и условиями равновесия статики. 242
f Следует помнить, что изгибающий момент в сечении может рас — (сматриваться как сумма моментов относительно поперечной оси сечения всех сил, расположенных по одну сторону от этого сечения.
Знак изгибающего момента устанавливается по знаку кривизны изогнутого бруса. Если балка изгибается внешним моментом выпуклостью вниз, то знак момента плюс, если выпуклостью вверх — минус. Для поперечных сил правило знаков следующее. Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения дает равнодействующую, направле. 1ую вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если вниз — отрицательной.
Простейшие примеры построения изгибающих моментов и поперечных сил для балок, нагруженных различными силовыми факторами, представлены в табл. 13.1.
Поперечная сила представляет собой производную от изгибающего момента по длине z бруса (балки). Производная от поперечной силы дает интенсивность внешней распределенной нагрузки:
dQ/dz = q, dMKJdt=Q. (13.35)
Рассмотрим напряжения в балке, возникающие при чистом изгибе. Для этого случая Mmr = const, а 0 = 0. При чистом изгибе ось однородного бруса принимает форму дуги окружности. Верхние слои бруса удлиняются (или укорачиваются, в зависимости от знака момента), а нижние — укорачиваются (или удлиняются). Очевидно, будет существовать слой, в котором удлинения отсутствуют. Этот слой называется нейтральным. По закону Гука
ст-£€=£-, (13.36)
Р
где у—расстояние от нейтрального до любого слоя; р — радиус кривизны нейтрального слоя.
Нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Легко далее получить выражение
I М „
-~=Г. (13.37)
Р Е/а-
где М—полный изгибающий момент; Jx — момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной к плоскости изгибающего момента.
Величина EJX называется жесткостью бруса при изгибе. Решая
(13.37) и (13.36) совместно, получим
t
ст = MyfJx. (13.38)
Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии
omtx = MK„ymax/Jx. (13.39)
16* 243
|
Простейшие случаи построения изгибающих моментов и поперечных сил G |
|
Максимальный изгибающий момент |
|
Максимальная поперечная сила |
|
Вид нагружения |
|
Наименование схемы |
|
Схема |
|
Конструк — 1 тивная |
|
Балка на двух опорах, нагруженная сосредоточенной силой |
|
Расчетная |
|
Яе j |
|
Эпюра |
|
РаЬ/(а + Ь) |
|
Эпюра Q |
|
РЬ/(а + Ь) |
|
шшпш |
|
11 I I I I I I I m |
|
Конструк тивная |
|
Балка на двух опорах, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой |
|
| I I I I 1 I I I I II {а, |
|
Расчетная |
|
^гггтПШШШтттт-у. |
|
qf’/8 |
|
Эпюра Мяу |
|
ПТТТгтг^ |
|
Эпюра О |
|
ql/2 |
|
-=таттг |
|
Конструк тивная |
|
>|Р |
|
i р |
Консольная балка, нагруженная моментом и сосредоточенной силой
|
Эпюра м*иг |
-Jf цд^ГГТГ п ~г г-^-..
Эпюра О
Отношение Л/>’та* называется моментом сопротивления сечения
|
Wx |
|
(13.40) расчете b и Л — |
|
IH’x. |
при изгибе и обозначается Таким образом,
т М
-‘так изг
Формула (13.40) является основной на прочность бруса при изгибе.
Для бруса прямоугольного сечения со сторонами Wx=bii2j6, для круглого сечения — Wx = 0,11)3.
Наиболее экономичны такие формы поперечных сечений, для которых при наименьшей затрате материала величина момента сопротивления наибольшая. Такими сечениями обладают стандартные двутавровые и швеллерные (корытные) тонкостенные, профили.
Энергия упругих деформаций стержня при изгибе определяется выражением
(|)
где /—длина стержня. ,
При поперечном изгибе, если поперечная сила Q не меняется по длине бруса, напряжения можно вычислять по формулам (13.38) и (13.40).
Касательные напряжения при поперечном изгибе определяются с помощь{о формулы Журавского.
при
|
(13.42) |
Т-Qsyjxb,
где S*x—статический момент части площади, расположенной выше, продольного сечет^ия (выше уровня координаты у); b — ширина сечения на уровне координаты у.
Выражение (13.42) позволяет вычислить величину максимальных касательных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса.
3 Q
Так, для бруса прямоугольного сечения тП1ак = , для бруса круглого
сечения ттах=- —-=, где R—радиус сечения, и т. д. В этих двух 3 лR*
случаях, максимальные касательные напряжения будут возникать в нейтральном слое.
Рассмотрим дифференциальное уравнение упругой линии бруса. Как указывалось, форма изогнутой оси бруса описывается выражением
(13.37) . Из математики известно, что
“=>’7(1 +У’2)312. (13.43)
где y’=dy/dz; y"—d? y/dz2.
Поскольку у’ при изгибе величина весьма малая, можно считать, что 1/р «у". Тогда
у" — MjEJx. (13.44)
Отсюда можно получить очевидную цепочку дифференциальных уравнений
0=у М = EJxy", Q = (Ej, y ). q=(EJxy")n (13.45)
или для бруса с постоянным сечением
0=V’, М=EJxy", Q = EJxy"’, q=EJxvn. (13.46)
Исходя из указанных дифференциальных уравнений путем соответствующих математических процедур можно определить наибольшие перемещения утах бруса.
Помимо рассмотренных случаев чистого и поперечного изгиба, в сопротивлении материалов особо рассматриваются случаи косого изгиба, внецентренного растяжения или сжатия, изгиба бруса большой кривизны и т. д.