ОБЩИЕ ПРАВИЛА СОСТАВЛЕНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ : ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
, Первоначально рассмотрим прямолинейное движение точки. Из кинематики известно, что при прямолинейном движении скорость t. и ускорение точки все время направлены вдоль одной и той же прямой. Так как направление ускорения совпадает с направлением
* действия силы, то отсюда следует, что свободная материальная. точка будет двигаться прямолинейно только тогда, когда действующая
, на нее сила имеет постоянное направление, а скорость точки ; в начальный момент равна нулю или направлена вдоль силы.
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки на
* основании второго закона динамики записывается в виде
(6.8)
или
где т—масса точки; х—координата точки; t—время; ]
— алгебраическая сумма всех действующих на точку сил; ] vx—скорость ТОЧКИ. I
В тех случаях, когда при решении задачи необходимо 1 искать зависимость скорости от координаты, выражение (6.9) 1 преобразуют к виду
|
(6.10) |
mvx(dvxj dx)=YJFkx.
Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из > уравнения (6.8), зная действующие на точку силы, найти закон движения точки, т. е. x=f(t). Для этого нужно дважды проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение. Входящие в правую часть уравнения (6.8) силы могут быть постоянными, зависеть от времени, от положения точки, т. е. от координаты х и скорости точки, т. е. от vx (см. предыдущий раздел). Следовательно, в общем случае 1 уравнение (6.8) с математической точки зрения будет представлять’ собой дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее вид
|
(6.11) |
d2xIdt2 = 0(t, x, vx).
Решить это уравнение можно для каждой конкретной задачи, установив, какой вид, в зависимости от действующих сил, будет иметь его правая часть. После того, как с помощью тех или иных математических приемов уравнение (6.11) для данной задачи будет проинтегрировано, в полученное решение войдут две постоянные интегрирования Ск и С2 и общее решение уравнения (6.11) запишется в виде
|
(6.12) |
x=f{t, C„ C2).
Чтобы довести решение каждой конкретной задачи до конца надо определить значения постоянных Ct и С2- Для этого используют начальные условия. Что это такое?
Изучение всякого движения обычно начинают с некоторого определенного момента времени, называемого начальным моментом. От этого момента обычно отсчитывают время движения, считая, что в начальный момент <=0. За начальный момент принимают момент начала движения под действием заданных сил. Положение, которое точка занимает в начальный момент, называется начальным, а ее скорость в этот момент—начальной (начальную скорость точка может иметь потому, что до момента t — О она двигалась по инерции или в результате действия на нее до момента / = 0 каких-то других сил). Таким образом, чтобы решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, т. е. положение и скорость точки в начальный момент.
|
Л’ = Л'(|, vx=vx0 при 1 = 0. |
|
В случае прямолинейного движения начальные условия задаются в виде |
|
По начальным условиям можно определить конкретные значения постоянных Сх и С2 и найти частное решение уравнения (6.11), дающее закон движения точки в виде |
|
Если точка совершает криволинейное движение, то это движение обычно раскладывают на три прямолинейных движения (вдоль трех взаимно перпендикулярных осей х, у, z) |
|
|
|
а начальные условия в виде Х=.Хо, Z = Z0, Р* = В„п. Vy = Vy0, Vz = V-n при 1=0. (6.16) |
|
(6.15) |
|
С. М. Тарг рекомендует следующий порядок решения задач динамики путем интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений движения. 1. Составление дифференциального уравнения движения. Для этого необходимо: а) выбрать начало отсчета (совмещая его с начальным положением точки) и провести координатную ось вдоль линии движения, направляя ее, как правило, в сторону движения. Если под действием приложенных сил точка может находиться в. каком-нибудь положении в равновесии, то начало отсчета удобно помещать в положение статического равновесия; б) изобразить движущуюся точку в произвольном положении, однако так, чтобы соблюдались неравенства. v>0, vx > 0. Последнее существенно, когда среди сил есть силы, зависящие от скорости. Далее показывают все действующие на точку силы; в) подсчитать сумму проекций всех сил на координатную ось и подставить эту сумму в правую часть дифференциального уравнения движения. При этом надо обязательно все переменные силы выразить через те величины (1, х или vx), от которых эти силы зависят. 2. Интегрирование дифференциального уравнения. Оно производится методами, известными из курса высшей математики и зависящими от вида полученного уравнения, т. е. от вида правой части в равенстве (6.11). В тех случаях, когда на точку, кроме постоянных сил, действует одна переменная сила, зависящая только от времени 1 или только от расстояния х, или только от скорости vx, уравнение прямолинейного движения можно проинтегрировать методом разделения переменных. Если при этом в задаче требуется определить только скорость движения, то при решении можно ограничиться одним из уравнений (6.9) или (6.10). 9* 131 |
|
(6.14) |
|
(6.13) |
3. Определение постоянных интегрирования. Для этого надо по данным задачи или по другим исходным данным установить начальные условия в виде (6.13) или (6.16). Если дифференциальное уравнение! движения является уравнением с разделяющимися переменными, то вместо введения постоянных интегрирования можно брать сразу от обеих частей равенства определенные интегралы в соответствующих пределах.
. 4. Нахождение искомых в задаче величин и исследование полученных результатов. Чтобы иметь возможность исследовать решение,, а также косвенно проверить результат, надо все решение проводить^ до конца в общем виде (в буквенных обозначениях), подставляя’ численные данные только в окончательные формулы.
С целью эффективного использования рассмотренного метода для решения задач бурения прежде всего необходимо правильно определять действующие на данное тело силы. При этом следует различать активные (действующие) силы и силы, возникающие как реакции связей или как реакции горной породы. В качестве действующих сил обычно5 выступают силы тяжести, принудительной осевой нагрузки и крутящие моменты. В большинстве случаев указанные силовые факторы принимают постоянными. Сложнее обстоит дело с реакциями горной породы. Горная порода представляет собой сплошную среду, ее физико-1 механические свойства могут колебаться в чрезвычайно широких; пределах. Также широко может меняться силовое воздействие породы на! внедряющийся в нее инструмент. В следующей главе будут рассмотрены; примеры отображения горной породы в виде силовых реакций связей.