Бурение грунтовых зондов, установка энергетических колодцев

Ддя решения многочисленных задач в инженерной практике широко используют так называемые общие теоремы динамики точки ; и системы материальных точек. Эти теоремы —следствие второго’ (основного) закона механики. Значение общих теорем состоит в том,1 что они устанавливают наглядные зависимости между мерами движе — ’ ния и взаимодействия, позволяют изучать отдельные практически ■ важные стороны движения точек и тел, не изучая это движение в целом, и, наконец, применение общих теорем избавляет от необходимости интегрировать дифференциальные уравнения движения в каждой конкретной задаче.

Важнейшая предпосылка для общих теорем — существование вза­имосвязей между мерами движения и соответствующими мерами взаимодействия материальных точек и тел. В табл. 6.1 перечислены ; меры движения и взаимодействия для отдельно взятой материальной точки. Рассмотрим эти меры более подробно.

К мерам взаимодействия относятся сила, импульс силы, момент 1 силы относительно центра и оси, момент импульса силы, работа 132 !

Таблица 6.1 Меры движения тонки и соответствующие им меры взаимодействия Мера движения Обозначения Мера взаимодействия Обозначение Количество ускорения mw Сила F Количество движения mv Импульс силы S !’ Момент количества движения m0(mv) Момент силы отно­ Wo И ■; относительно центра сительно центра Момент импульса w0 (S) Кинетическая энергия точки mv/2 силы относительно центра Работа силы А , Действие по Лагранжу SL — — *

силы; к мерам движения — количество ускорения, количество движения, * момент количества движения относительно центра и оси, кинетическая энергия точки, действие по Лагранжу, действие по Гамильтону и др. ) Простейшую связь между количеством ускорения и мерой механичес­кого взаимодействия, т. е. силой F, устанавливает один из законов. механики—второй закон Ньютона. Он утверждает, что эти две меры между собой равны.

1 Рассмотрим более подробно некоторые меры взаимодействия. Импульс S силы вводится для характеристики действия, оказываемого на точку силой за некоторый промежуток времени. Элементарным импульсом силы называется векторная величина dS, равная произ­ведению вектора силы F на элементарный промежуток времени,

dS=Fdt. (6.17)

Элементарный импульс направлен по линии действия силы.

Импульс S любой силы F за конечный промежуток времени вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов

S=Fdt. (6.18)

о

, В общем случае модуль импульса может быть вычислен через его проекции

I I

S, c=Fxdt, S,. = fiyft, S2 = Fzdt. (6.19)

О о

*

Без знания закона движения точки импульс силы может быть вычислен для постоянных или зависящих от времени сил.

Моментом w0 И силы относительно точки (центра) О называется векторная величина, определяемая соотношением

где г—радиус-вектор точки приложения силы относительно данного центра.

Момент силы относительно осей координат определяется соот­ношениями

mx(F)=yFz-zy, my(F) = zFx-xFz, mz(F)=xFy-yFx, (6.21)

где л’, у, z—координаты точки приложения силы; Fx, Fy, F,—проекции силы на оси координат.

Моменты силы относительно осей координат представляют собой проекции вектора-момента силы относительно начала координат на соответствующие оси.

Для характеристики действия, оказываемого силой на точку при некотором ее перемещении, вводится понятие о работе силы. При этом работа характеризует лишь то действие силы, которым определя­ется изменение модуля скорости движущейся точки.

Элементарная работа силы — это скалярная величина, определя­емая соотношением

dA = drxF, (6.22)

где dr—приращение радиуса вектора точки или элементарный вектор смещения точки.

В ином виде формула элементарной работы запишется

dA — F, ds (6.23)

(FT—касательная составляющая силы), или

dA = Fds cos а, (6.24)

где ds—приращение криволинейной координаты; а—угол, составлен­ный вектором силы и касательной осью.

Если угол а острый, то работа положительна. При а = 0 имеем dA = Fds. Если угол а тупой, то работа отрицательна. В частности, если а =180°, то dA = — Fds. Если а = 90°, т. е. сила направлена перпендикулярно к перемещению, то элементарная работа равна нулю.

Элементарная работа может быть вычислена через проекции силы и приращения координат точки ее приложения:

dA = Fx dx+Fy dy + Fz dz. (6.25)

Формула (6.25) носит название аналитического выражения элемен­тарной работы силы.

Работа силы на любом конечном перемещении ММХ вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ:

(М)

или

(м)

Aw„M)= 1 Fds cos а. (6.27)

w.)

Пределы интегрирования соответствуют значениям переменных интегрирования в точках М0 и Л7,.

Работа силы (без знания закона движения точки) может быть вычислена для сил постоянных и зависящих от перемещения. Элементарная работа момента силы определяется по формуле

dA=MFdxp, (6.28)

где Мг—момент силы; ср—угол поворота.

Приведем некоторые частные случаи вычисления работы. Работа силы тяжести Р, действующей на материальную точку, определяется по формуле

А(м„м1)= ± Fh, (6.29)

где И — вертикальное перемещение точки приложения силы тяжести. Работа силы упругости (идеальной пружины)

^„„..^[(ддмд’к)2], (6-30)

где С—коэффициент жесткости пружины, Н м-1: А /н, А /к—началь­ное и конечное удлинение (или укорочение) пружины.

Работа силы трения определяется выражением

то

Ат0м,1=Л’ J Nfds, (6.31)

(М„)

где N—нормальная реакция; /—коэффициент трения.

Обращаем внимание, что работа силы трения всегда отрицательна. В первых двух частных случаях работа не зависела от траектории, по которой двигалась точка, т. е. не зависела от пройденного точкой пути. Такие силы носят название потенциальных. Таким образом, шла тяжести и упругая сила — силы потенциальные. Работа силы трения зависит от траектории, по которой двигалась точка, следова­тельно, сила трения—сила непотенциальная.

Комментарии запрещены.