Бурение грунтовых зондов, установка энергетических колодцев

Если из опыта или наблюдений установлено, что величина At зависит от величин А2, А3, …, Ап, то всегда можно составить физи­ческое уравнение в виде

‘ (АиА2,А3, . . .,Ап)= 0 (IV.30>.

Однако уравнение типа (IV.30) может быть заметно упрощено, если воспользоваться я-теоремой. Эта теорема утверждает, что всякое уравнение, которое устанавливает связь между п перемен­
ными, размерности которых выражаются через т независимых: (основных) единиц, может быть заменено уравнением, в которое будут входить п—т — безразмерных я-членов, представляющих собой критерии подобия и параметрические. Исходя из этого уравнение (IV.30) может быть заменено уравнением типа (IV.31):

Ф(яь л2, я3, , . . , яп_т) =0. (IV.31)

При этом, согласно я-теореме, в каждом я-члене будет произ­ведение из т+1 переменных, из которых т — из числа выбран­ных в качестве независимых и 1 — из числа оставшихся, причем всегда новая для каждого очередного я-члена.

Поясним сказанное на следующем примере. Многочисленные наблюдения позволяют считать, что в самом общем случае на движение ньютоновской жидкости могут влиять три группы переменных: 1) величины геометрического порядка — длина /,

ширина а и высота потока b (или для круглых труб их диаметр), шероховатость стенок Л; 2) кинематические и динамические характеристики течения — средняя скорость v и перепад давле­ния р (или расход Q и градиент давления р/l или расход и сила сопротивления и т. д.); 3) физические свойства жидкости — плот­ность р, удельный вес у, динамическая вязкость р, поверхностное натяжение о и модуль объемной упругости Е.

Тогда на основании ранее сказанного о я-теореме общее физическое уравнение для движения любой реальной жидкости можно записать в виде

f (d, а, Ъ, Д, v, р, I, р, v, р, а, Е) = 0 (IV.32)

или, переходя к л-членам,

ф (*Ч, я3, . . . , я9) = 0. (IV.33)

Однако формулы (IV.32) и (IV.33) могут быть значительно упрощены, если конкретизировать условие поставленной задачи. Так, если оговорить, что движение жидкости установившееся и происходит в прямой круглой трубе диаметром d на участке — длиной / при перепаде давления, равном р/l, то этих условий вполне достаточно для того, чтобы не учитывать силы поверх­ностного натяжения о и модуль объемной упругости Е, Дело в том, что первые существенно влияют только во время движения жидкости в капиллярах, а вторые — во время движения тел с большой скоростью и полностью погруженных в среду газа, когда изменяется плотность и образуются упругие волны (напри­мер, случай движения артиллерийского снаряда).

Из уравнения (IV.32) может быть исключена также ц вели­чина у, так как силы тяжести рассматриваются только при дви­жении жидкости в открытых безнапорных руслах, при истечении ее через водосливы, в случае волновых движений, а при движении жидкости в трубах они не учитываются. ‘

Суммируя все изложенное, приходим к заключению, что в дан-

ном конкретном случае зависимость (IV.32) может быть упрощена до вида.

/ (d, A, v, pH, р, р) = 0. (IV.34)

Примем за независимые переменные диаметр d, скорость v и плотность р. При таких условиях п = 6 и т= 3. Следовательно, п—т = 6—3=3. Поэтому уравнение (IV.34) можно заменить вы­ражением, аналогичным (IV.33), в которое, однако, будут входить всего три безразмерных л-члена:

. ф (яь я2, п3) = 0. (IV.35^

В каждом я-члене будет m+’l, т. е. четыре переменных, из которых три выбранных (d, v, р) и одна из числа оставшихся, новая для каждого очередного л-члена. Степени первых три пере­менных обозначим х, у, z с индексами соответствующих л-членов, а для четвертой переменной оставим степень минус единица, т. е.

jtj = dXlvytpZtA~1; яг = dXivy2pz*(p//)—1; я3 = dX3tP2pZsp,~1. .

Но согласно требованиям к размерностям,’ для правильного отображения физической сущности явления должно соблюдаться условие равенства показателей степени при одноименных вели­чинах в обеих частях любого математического равенства. Поэтому применительно к записанной системе получим для. яр

*1

*1	L n/i	м
	т	1?

= |L|

1 l IS-

ИЛИ

Сравнивая затем степени при одинаковых основаниях, полу­чаем систему трех уравнений: для L: Xi+ —32t=l; для Т:

-~У = 0; для М: 2j = 0. •

После решения ее найдем, что *i=l, уi = 0, = 0. Подставим

эти значения (хи уи zx) в формулу для ль тогда

Л1 = d’d)p°A~1 = d/A.

Зная размерности остальных величин (р/l, р), аналогично находим значения и других л-членов:

TOC o "1-5" h z pvH vdp

■ Л2 = j : $13

j г У

pd „ г] вводя которые в (IV.35), получаем:

/ d v2p l vdp _

ПТ-^r’TV (IV36)

Нетрудно заметить, что первый я-член представляет собой симплекс геометрического подобия и соответствует относительной шероховатости е. Второй л-член есть комбинация параметра Эйлера с симплексом djl, т.* е.. l/(Eu-d/l). Что касается третьего я-члена, то это уже хорошо известный параметр Рейнольдса Re.

Любой из полученных я-членов может быть принят в качестве переменной. Однако в данном случае логичнее выбрать тот, кото­рый содержит в себе основные характеристики самого течения, т, е. лг. В свою очередь, любая из величин, входящих в этот комплекс, может быть выбрана в качестве изучаемой переменной, например перепад давления р.

Учитывая такой выбор изучаемой переменной и вводя в (IV.36) принятые обозначения я-членов, получаем:

Ей ■— = f (е, Re), (IV.37>

а заменяя Ей его значением и имея в виду, что p=yh, можно найти;

xftol

A = 2cq>'(e, Re)—7-, (IV.38>

2 gd

где с — коэффициент, определяемый из опыта; <р’— безразмерный коэффициент, учитывающий возможное различие размерных систем для величин, подлежащих анализу; если все переменные в этом соотношении выражены в единицах одной и той же раз­мерной системы, то ф’=1. ■

Сравнивая (IV.38) с формулой Дарси—Вейсбаха (111.20), при­ходим к заключению, что коэффициент гидравлического сопротив­ления X есть сложная функция ряда параметров, которая в общем случае может быть выражена зависимостью вида

Я = с’ф'(е. Re): с’ = 2с. (IV.39)

Конкретные значения коэффициентов с’ и <р’ определяют по данным Опытов.

Как было отмечено ранее, в зоне шероховатого трения коэф­фициент а перестает зависеть от Re и становится функцией только относительной шероховатости. Это явление происходит при боль­ших значениях Re, когда силы инерции становятся несоизмеримо большими, чем силы внутреннего трения. При этом происходит как бы выпадение критерия Рейнольдса и числа Ей уже не зави­сят от Re, т. е. появляется условие, когда Eu —const (а не idem!). В такой области движения, когда нет зависимости Ей от Re, нет и предпосылок для подобия явлений. Следовательно, все явления стационарного движения вязкой несжимаемой жидкости в такой области автоматически будут подобны между собой. Такие слу­чаи подобия, когда явления полностью определяются одним только критерием подобия комплексного типа (в рассмотренном примере Eu = const), получили название автомодельных.

В заключение необходимо отметить, что при использовании я-теоремы так же, как и при использовании анализа’ размерностей, нельзя наметить граничные. условия, поскольку отсутствуют урав­нения рассматриваемого процесса. Поэтому из получающихся я-членов выделить определяющие критерии невозможно и, следо­вательно, все величины, обусловливающие исследуемое явление,
должны быть выяснены заранее исходя из физической сущности рассматриваемого процесса. Наряду с этим при проведении экс­периментов необходимо измерять все те величины, которые вхо­дят в критерии подобия изучаемого процесса, а результаты экспе­риментов представлять в виде критериальных уравнений.

Комментарии запрещены.