Орбитальная механика
Сидерический и астрономический день
ЕІаиболее очевидным способом определения времени является вычисление интервала между двумя последовательными зенитами солнца. Такой интервал еще называется астрономическими сутками. Солнце находится в зените, когда в течение дня достигает наивысшей точки на небосводе. При этом положении солнца легко определить направление «на юг», когда вы находитесь в северном полушарии. Далее будет показано, как можно установить день равноденствия. Временной интервал между двумя последовательными весенними равноденствиями называется тропическим годом. Этот интервал можно вычислить с астрономической точностью. Было рассчитано, что во время одного тропического года солнце бывает в зените 365,24219878 раз (округлим эту цифру до 365,2422). Другими словами, один год состоит из 365,2422 астрономических суток. Мы определяем средний солнечный час как 1/24 средних астрономических суток, которые, в свою очередь, составляют 1/365,2422 года. К сожалению, длительность астрономических суток, как показали измерения, меняется с течением времени. Зависимость длительности астрономического дня от времени нетривиальная. Так, например, астрономический день 17 сентября может быть на 28 с длиннее, чем 22 декабря, и на 23 с короче, чем в некоторый
другой день. Ниже будет объяснено, почему происходит такое варьирование величины.
Если бы мы измеряли временной интервал между последовательными зенитами некоторой выбранной звезды (а не Солнца), то оказалось бы. что эти интервалы практически постоянны в течение года. Измерения также показали бы. что звезда будет находиться в зените 366.2422 раза в течение одного тропического года. То есть число «звездных» (или сидерических) суток в году точно на один день больше, чем число астрономических суток в году по солнцу.
Таким образом, разница между сидерическим и солнечным временем является результатом вращения Земли по орбите вокруг Солнца (рис. 10.12 и 10.13).
В планетарной системе, в которой планета вращается вокруг центральной звезды и не вращается вокруг своей оси, для наблюдателя, находящегося і і планете, один день длится ровно год. Если же планета будет вращаться вокруг своей оси в том же направлении, что и вокруг звезды, и иметь углов, скорость 360° в год, то день и ночь в заданной точке на планете никогда г: будут меняться.
Как уже было сказано, совершение полного оборота вокруг звезды б. д. восприниматься с поверхности не вращающейся вокруг своей оси планеты к • одни астрономические сутки. То есть в относительном движении звезда совершит один полный оборот вокруг планеты. Если считать, что сутки состоят из 24 . то каждые 15° движения по орбите будут соответствовать временному интерва.
1 ч. А угловое расстояние 1° будет соответствовать 4 мин.
|
Таблица 10.3. Величины, определяющие время
|
ирбитальное уравнение
Угол между прямой, проходящей через базисную точку и звезду, и прямой, проходящей через планету и звезду, называется истинным отклонением — true anomaly (рис. 10.14).
При круговой траектории движения (орбите) планеты выделить какую-то особенную базисную точку довольно трудно. Однако, поскольку планеты движутся чаще всего по эллиптическим орбитам (иногда по гиперболе), задача упрощается и в качестве такой «удобной» базисной точки может быть выбран перигей — ближайшая к центру вращения или звезде точка. Апогей же по некоторым причинам менее удобен для этих целей.
Итак, за начало отсчета в дальнейших наших вычислениях мы выбираем перигей. Тогда отклонение будет увеличиваться в направлении движения планеты.
Рассмотрим планетарную систему, в которой вокруг звезды массой М вращается планета массой т. Примем, что скорость движения планеты имеет такое значение, что центробежная сила /яга2 (где со — угловая скорость планеты, рад/с) точно уравновешивается силой притяжения планеты к звезде GmM/r2, где G — гравитационная постоянная, равная 6,6729 • 10 м м2 • с-2 • кг-1. В данном частном случае эти две силы имеют абсолютно равное значение и действуют в противоположном направлении. При этом радиус вращения планеты г будем считать неизменным, т. е. планета будет двигаться по окружности, в центре которой находится звезда:
откуда
Для случая, когда в качестве звезды мы рассматриваем Солнце, чья масса Ч равна 1,991 • 10зокг, а в качестве планеты Землю, которая вращается с угловой скоростью 2л/365,4 рад/денъ или 199.1 • 10 4 рад/с. радиус вращения г будет равен 149,6- 109м. Это достаточно точное значение радиуса вращения Земли вокруг Солнца, даже несмотря на то, что орбита Земли не является окружностью.
При этом нужно отметить, что в реальности планеты никогда не движутся по окружности с постоянной скоростью. Этот факт можно объяснить так. В некоторый момент времени скорость планеты меньше необходимой для того, чтобы действующие на планету силы уравновешивались. При этом планета начинает приближаться к звезде с ускорением. Скорость планеты возрастает, и под действием центробежной силы она начинает удаляться от звезды. Скорость планет I уменьшается, затем процесс повторяется. Из-за таких «колебательных» движений орбита приобретает эллиптическую форму.
Орбитальное уравнение эллиптического движения может быть легко выведено, хотя для этого потребуется более сложный математический аппарат, в отличие от предыдущего случая.
Уравнение движения в полярных координатах будет выглядеть следующим образом:
и
(361
для радиальных и тангенциальных составляющих сил соответственно. Уравнение (36) можно умножить на отношение г/т, тогда
Заметим, что уравнение (35) совпадает с уравнением (33) для случая двиле ния по окружности, когда d2r/dt2 = 0. При этом уравнение (36) упрощается вида d20/d/2 = 0 (поскольку dr/dt также равно нулю), что свидетельствеует о п тоянстве угловой скорости.
Заметим еще, что
Интегрируя уравнение (38), получаем
de
г2 — = const. (39)
d Г
Можно показать, что уравнения (35) и (36) при исключении из них величины Г, представляют собой уравнения эллипса с эксцентриситетом є (который зависит от полной энергии планеты). Когда є < 1, траектория движения описывается уравнением
Здесь а — большая полуось эллипса, а 0 — истинное отклонение. Зная 0, определяющее положение планеты на орбите, легко вычислить радиус-вектор при условии, что известны эксцентриситет и главная ось.
Для нас наибольший интерес представляет определение положения планеты 0 в зависимости от времени. Из уравнений (39) и (40) следует
Если бы орбита Земли представляла собой окружность, т. е. є = 0, угловая скорость d0/dr оставалась бы неизменной и равнялась бы
Это средняя угловая скорость Земли
А = 0.985 647 33 град/день. (43)
И поскольку эксцентриситет орбиты Земли в настояшее время приблизительно равен 0,0167, то
— = 0,985 647 33 (1 + 0,0167 cos©)2. (44)
dr
Следовательно, когда 0 = 0, т. е. в момент перигея, угловая скорость Земли равна 1,01884 град/сут, тогда как в момент апогея угловая скорость снижается до 0,953 00 град/сут.
Движение Земли по орбите можно описать с помощью таблицы в виде зависимости 0 от времени Г, получаемой с помощью следующего приближенного уравнения:
0, — = 0,_1 + А (1 + є cos0,_, )2 At. (45)
Значение 0О (перигелий) принимается равным нулю.
Вычисления с помощью приведенного соотношения характеризуются достаточно высокой точностью, даже если принять шаг по времени At равным 1 сут.
Соответствующие выражения буду иметь несколько иной вид, если в качестве базовой точки выбрать точку, отличную от перигея. Так, традиционно для этих целей выбирают более очевидную точку, соответствующую весеннему равноденствию. При этом вводится такое понятие, как небесная долгота, представляющее собой угол, измеряемый в эклиптической плоскости от точки весеннего равноденствия до текущего положения планеты, практически так же, как это делалось в случае с истинным отклонением.
Гелиоцентрическая полярная система координат, используемая для определения орбитального движения Земли, не очень удобна для описания положения небесных тел, поскольку мы наблюдаем эти тела с Земли. Для этих целей в астрономии служит специальная система координат, заимствованная когда-то из географии (соответствие широте и долготе). Положение небесных тел описывается с помощью пары углов: прямого восхождения (эквивалент долготы) и склонения (эквивалент широты). Так мы приходим к геоцентрической системе координат, которая применялась с древнейших времен. Однако сейчас мы у* г абсолютно точно знаем, что Земля не является центром Вселенной. Определим в этой системе две основные плоскости. Экваториальной плоскостью называете плоскость, перпендикулярная оси вращения планеты и проходящая через центі і Земли. Плоскостью эклиптики называется плоскость, на которой лежит траектория движения планеты (орбита). Эти две плоскости крайне редко совпадают Угол между этими плоскостями называется углом наклона орбиты т. Кроме того, можно ввести такое понятие, как небесный экватор, который представляет собой плоскость, параллельную земному экватору, но проходящую через центр Солнца, а не через центр Земли.
Небесный экватор и эклиптика пересекаются по линии называемой линией равноденствия. Земля пересекает эту линию, двигаясь с севера на юг (фа -> «подъема»), в день весеннего равноденствия. Двигаясь в направлении с юга север, Земля пересекает эту линию в день осеннего равноденствия.
Весеннее равноденствие традиционно используется для определения прямо восхождения и склонения. Помните, что восхождение лежит в плоскости эклиптики, тогда как склонение — в экваториальной плоскости.
Временной интервал между двумя последовательными днями весеннего р ноденствия называется тропическим годом (см. начало приложения). В наш анализе мы использовали перигелий для определения значения истинного г клонения. Временной интервал между двумя последовательными момента прохождения перигелия называется аномалистическим годом. Его длительное немного больше, чем у тропического года. Почему такой факт может иметь ме* то? Обоснование этой разницы заключается в том, что линия апсидов немн
изменяет свою ориентацию, совершая полный оборот на 360° приблизительно каждые 21 000 лет. Соответствующее годовое изменение долготы перигелия составляет 360/21 000 = 0,017 град./год.
Поскольку орбитальная угловая скорость Земли равна приблизительно 1 град./день, то аномалистический год длиннее тропического примерно на 0,017 дня (25 мин). Следовательно, аномалистический год будет длиться около 365,259 дня (более точно 365,259 641 34 дня).