Апории относительно движения
Апории относительно движения
Аргументы о движении известны нам только по короткому разбору их Аристотелем в «Физике» и комментариям Симплиция, Филопона и Фемистия. Симплиций утверждает, что он имел в собственном распоряжении сочинение Зенона, и его комменты относительно огромного количества подтверждают это. Но комменты о движении, хотя по неким замечаниям разумеется, что он знал и эту часть сочинения, не содержат ничего нового, хорошего от Аристотеля, может быть, из-за общепризнанной трудности этих аргументов. Филопон и Фемистий тоже только повторяют аристотелевские суждения.
Апория «Дихотомия»
Формулировка апории.
Пусть АВ – отрезок длины 1 и точка М движется из А в В. До того как дойти до В, она должна «отсчитать» нескончаемое огромное количество «середин» А1, А2, …, Аn, …; означает, точка В никогда не будет достигнута. Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, так как оно должно поначалу дойти до середины пути, потом до середины остатка пути и т.д..
Суждения древних математиков.
Гегель дает последующий комментарий аргументам Зенона: «Зенон тут показывает на нескончаемую делимость места: потому что место и время полностью непрерывны, то нигде нельзя тормознуть с делением… Движение оказывается прохождением этого нескончаемого количества моментов; оно потому никогда не кончается, движущееся, как следует, не может дойти до собственного конечного пункта».
Подобные суждения можно отыскать и у Аристотеля. Гегель справедливо отмечает, что уже Аристотель наметил верный путь решения данной апории Зенона, обратив внимание на то, что место и время не животрепещуще разбиты нескончаемым образом, а только потенциально делимы до бесконечности. На эту важную идея Аристотеля направил внимание В. И. Ленин, конспектируя «Историю философии» Гегеля: «Движущийся к цели должен поначалу пройти половину пути к ней. А от этой половины поначалу её половину и т.д. без конца.
Аристотель ответил: место и время нескончаемо делимы (в способности)… но не нескончаемо разбиты (в реальности)…»
Развивая идею Аристотеля о непрерывности как непрерывной делимости, а не актуализированной разделенности, Гегель писал: «Делимость как возможность есть всеобщее, в ней положены как непрерывность, так и отрицательность, либо точка, но положены как моменты, а не как сами по себе». Гегель, стало быть, рассматривает делимость как возможность деления.
Логическая несостоятельность вывода Зенона.
Один из математических вопросов, связанных с данной апорией, состоит в последующем: допустимо ли воспользоваться животрепещущей бесконечностью, допустимо ли, к примеру, рассматривать весь натуральный ряд уже построенным и ввести некое новое, трансфинитное число, последующее за всеми натуральными?
Теория множеств Г. Кантора (70-е гг. XIX века) отвечает на этот вопрос положительно. Кантор определяет порядковые трансфинитные числа. Если пользоваться ими, можно сказать, что точка М добивается А1 в момент t1, А2 — в момент t2, …, Аn — в момент tn, а точка В — в момент t?, где ? – 1-ое число, последующее за всем натуральным рядом. Заметим, что Р. Бэр при помощи вточности такой же конструкции ввел 1-ый трансфинит ?, который и является порядковым типом огромного количества натуральных чисел. Но с введением теории множеств затруднения, связанные с животрепещущей бесконечностью, совсем не были преодолены. Они приняли только другую форму и вновь выступили в виде парадоксов теории множеств. В одном из их, так именуемом финомене Бурали-Форти, рассматривается порядковый тип огромного количества всех порядковых типов. Приписывание ему порядкового номера приводит к противоречию. В текущее время существует точка зрения, согласно которой свободное оперируемое с животрепещуще нескончаемыми огромными количествами, даже счетными, неправомерно.