Бесконечность и бесконечности
Бесконечность и бесконечности
Давайте на короткий срок отвлечемся от галактик и Вселенной и побеседуем малость о бесконечности, ибо это понятие играет самую важную роль в наших представлениях о Вселенной.
Бесконечность изучается арифметикой, тем ее разделом, который именуется теорией множеств. Большая часть из числа тех, кто не занимался этим вопросом специально, имеет о бесконечности очень смутное (и доверчивое) представление. Интуитивно кажется, что бесконечность — это то, что выходит, если неограниченно продолжать счет 1, 2, 3,… и т. д. без конца. Казалось бы, какая здесь еще может быть теория нескончаемого?
В реальности характеристики нескончаемого совсем не исчерпываются неограниченным продолжением счета. Более того, эти характеристики нескончаемо разнообразнее и удивительнее всех параметров конечных чисел и их совокупностей.
Мы познакомимся с некими из их. Начнем с рассказа, приписываемого известному арифметику Д. Гильберту.
Представим для себя гостиницу с нескончаемым числом номеров, “перенумерованных” по порядку:
1, 2, З…
Все номера заняты. Поздно вечерком приезжает очередной гость. “Свободных мест нет”, — гласит ему портье. “Это не играет роли, — вступает в разговор управляющий. — Переселим гостя из номера 1 в номер 2, гостя из номера 2 — в номер 3, гостя из номера 3 — в номер 4 и т.д., а вновь прибывшего гостя поместим в освободившийся номер 1”.
Посреди ночи приезжает еще 1000 гостей. “Свободных мест нет”, — гласит им портье. “Непринципиально, — возражает управляющий. Переселим гостя из номера 1 в номер 1001, гостя из номера 2 — в номер 1002 и т.д., а вновь прибывших гостей поместим в освободившиеся номера от 1 до 1000”.
Не успели все гости разойтись по отведенным им номерам, как в гостиницу вваливается масса. Сейчас вновь прибывших нескончаемо много, и мы обозначим их A1, А2, А3… “Свободных мест нет”, — гласит портье. “Ничего ужасного, — все так же спокоен управляющий. — Переселим гостя из номера 1 в номер 2, гостя из номера 2 — в номер 4, гостя из номера 3 — в номер 6 и вообщем каждого гостя из следующего номера попросим переехать в номер с в два раза огромным числом. Тогда гостей A1, А2, А3… мы сможем поселить в номерах 1, 3, 5,…”.
В этой истории наглядно показано, что в бесконечности часть может быть равна целому. Вправду, запишем нескончаемое число четных номеров в виде нескончаемого ряда, а под этим рядом напишем номера гостей 1, 2, З…
2, 4, 6, 8, … 1, 2, 3, 4, …
Каждому четному числу соответствует один номер гостя и напротив. Означает, число четных чисел равно числу всех чисел натурального ряда. На 1-ый взор это противоречит нашей интуиции. Ведь четные числа составляют только половину всех чисел. Это вправду так для хоть какой конечной совокупы чисел. Но когда мы перебегаем к бесконечности, все изменяется и часть может приравниваться целому, в чем мы наглядно удостоверились, сравнивая написанные выше два ряда.
О схожих же свойствах молвят и другие примеры, приведенные в шутливой истории Д. Гильберта.
Из приведенных выше примеров может показаться, что все бесконечности, так сказать, схожи, другими словами что хоть какое нескончаемое огромное количество частей можно перечесть при помощи нескончаемого ряда натуральных чисел, как мы это сделали с четными числами.
Но это не так!
Известный математик Г. Кантор в прошедшем веке обосновал, что число точек на отрезке прямой сосчитать никаким методом нельзя. Их нельзя перенумеровать при помощи нескончаемого ряда натуральных чисел, приписывая каждой точке собственный номер, в каком бы порядке мы ни выбирали эти точки. Всегда остается хотя бы одна точка, на которую не хватит номера!
Осознать это не так трудно. По правде, представим для себя, что мы взяли отрезок единичной длины и положение каждой точки характеризуем расстоянием ее от левого конца, принятого за ноль. Эти расстояния будем записывать в виде десятичной дроби. Поточнее, положение каждой точки записывается, вообщем говоря, в виде нескончаемой десятичной дроби, у которой после запятой имеется нескончаемый ряд десятичных символов. Естественно, в исключительных случаях все знаки начиная с некого возможно окажутся нулями.
Представим дальше, что вопреки нашему утверждению кому-то удалось перенумеровать точки этого отрезка. Тогда мы выпишем десятичные дроби, характеризующие положения этих точек на отрезке, в порядке их номеров в виде таблицы. В первой строке запишем нескончаемую дробь для положения точки, получившей 1-ый номер, во 2-ой строке нескончаемую дробь для точки, получившей 2-ой номер и т. д. Наша таблица может смотреться, к примеру, так
0,32869700833….
0,91967138452….
0,00063700114…..
………
Покажем, что непременно есть точка отрезка, не вошедшая в этот перечень, и, как следует, перечень неполон.
Для того чтоб записать десятичную дробь, характеризующую положение этой точки на отрезке, поступим последующим образом. Запишем первым знаком после, запятой в десятичной дроби, всякую цифру, отличающуюся от первой числа после запятой в первой строке нашей таблицы (другими словами в .нашем примере не 3, ,а, скажем, 5). Вторую цифру в нашей дроби запишем всякую, но отличающуюся от 2-ой числа во 2-ой строке таблицы (в нашем, примере не 1); и т.д., будем поступать до бесконечности., Ясно, что, мы получим дробь, которой нет в нашем перечне. Вправду, она не, совпадает с первой строкой, потому что заранее отличается, 1-ая цифра после запятой, не совпадает со 2-ой строкой, потому что заранее отличается 2-ая цифра после запятой и т. д.
Точка, расстояние которой записано этой дробью”, пропущена в нашем нескончаемом перечне и, означает, не имеет номера.
Казалось бы, можно начать нумеровать с этой точки, а позже давать номера всем остальным. Как шутливо замечает голландский математик Г. Фрейденталь, конкретно так поступил человек, побившийся об заклад съесть 20 картофелин. Съев 19 из их и .чувствуя с.ебя не .способен проглотить последнюю картофелину, этот человек со вздохом увидел: “С нее-то мне и следовало бы начать”.
Очевидно, если начать нумеровать с только-только указаной точки, оставшейся без номера, то этим же методом можно отыскать другую точку, оставшуюся без номера лги новеньком методе нумерации.
Наверняка, читатель несколько, утомился от необходимости смотреть за необыкновенным построением, но уж очень оно принципиально, и хотелось его привести для того, чтоб дать хоть малость ощутить, как необыкновенные характеристики мы . встречаем в королевстве бесконечности, :
Итак, точек на единичном отрезке прямой заранее больше, чем нескончаемых чисел натурального ряда. Арифметики молвят, что бесконечность точек на отрезке прямой более мощная, чем бесконечность чисел натурального ряда.
Означает, бесконечности не все однообразные. Посреди их есть более массивные, другими словами более богатые элементами, и наименее массивные.
Новиков И.Д.