Числа и геометрические величины
Числа и геометрические величины
Пифагорейцы уподобляли числа геометрическим точкам: единицу — одной точке, некое другое число — группе точек, образующих некую геометрическую фигуру. Каждое число у их было дискретным набором единиц; таким макаром, пифагорейская математика ограничивалась исследованием положительных целых чисел и отношений целых чисел, которые не числились числами.
Всякая непрерывная величина — линия, поверхность, тело — могла быть отождествлена с неким подходящим ей числом — «количеством» (длина, площадь, объем). Подобно тому как единица была общей мерой целых чисел, величины должны были иметь общую единицу измерения — быть с о и з м е р и м ы м и — и любая величина отождествлялась с целым числом составляющих ее единиц. Эта попытка отождествить целые числа с непрерывными величинами, интерпретировать непрерывное в определениях дискретного ни к чему не привела и стремительно провалилась. Решающую роль, как уже говорилось, в этом сыграло открытие иррациональных чисел. В квадрате со стороной 1 отношение диагонали к стороне равно; оно не выражается в виде отношений целых чисел и, означает, вообщем не имеет статуса в пифагорейской математике. Сторона и диагональ не имеют общей единицы измерения и именуются н е с о и з м е р и м ы м и. Обоюдное соответствие меж величиной и числом, знакомое пифагорейцам, оказалось нарушенным. Если каждому числу соответствует некоторая длина, то какие числа необходимо сравнить несоизмеримым величинам?