Парадоксы Зенона и понятие бесконечности
Парадоксы Зенона и понятие бесконечности
Конкретно в связи с открытием несоизмеримых величин в греческую арифметику просочилось понятие бесконечности. В собственных поисках общей единицы измерения для всех величин греческие геометры могли бы разглядеть нескончаемо делимые величины, но мысль бесконечности приводила их в глубочайшее смятение. Если даже рассуждения о нескончаемом проходили удачно, греки в собственных математических теориях всегда пробовали его обойти и исключить. Их затруднения перед очевидным выражением абстрактных понятий нескончаемого и непрерывного, обратных понятиям конечного и дискретного, ярко проявились в парадоксах Зенона Элейского.
Резонами Зенона были «апории» (тупики); они должны были показать, что оба догадки заводят в тупик. Эти парадоксы известны под заглавием А х и л л е с, С т р е л а, Д и х о т о м и я (деление на два) и С т а д и о н. Они сформулированы так, чтоб выделить противоречия в понятиях движения и времени, но это совсем не попытка разрешить такие противоречия.
Апория «Ахилл и черепаха» противоборствует идее нескончаемой делимости места и времени. Быстроногий Ахилл соревнуется в беге с черепахой и великодушно предоставляет ей фору. Пока он пробежит расстояние, отделяющее его от точки отправления черепахи, последняя проползет далее; расстояние меж Ахиллом и черепахой сократилось, но черепаха сохраняет преимущество. Пока Ахилл пробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха опять проползет еще малость вперед, и т.д. Если место нескончаемо делимо, Ахилл никогда не сумеет догнать черепаху. Этот феномен построен на трудности суммирования нескончаемого числа все более малых величин и невозможности интуитивно представить для себя, что эта сумма приравнивается конечной величине.
Еще больше очевидным этот момент становится в апории «Дихотомия»: до того как пройти некий отрезок, движущееся тело сначала должно пройти половину этого отрезка, потом половину половины, и т.д. до бесконечности. Зенон на уровне мыслей строит ряд 1/2 + (1/2) 2 + (1/2) 3 +., сумма которого равна 1, но ему не удается интуитивно понять содержание этого понятия. Современные представления о пределе и сходимости ряда позволяют утверждать, что начиная с некого момента расстояние меж Ахиллом и черепахой станет меньше хоть какого данного числа, избранного сколь угодно малым.
Феномен «Стрела» основан на предположении, что место и время составлены из неразделимых частей, скажем «точек» и «моментов». В некоторый «момент» собственного полета стрела находится в некой «точке» места в недвижном состоянии. Так как это правильно в каждый момент ее полета, стрела вообщем не может находиться в движении.
Тут затронут вопрос о моментальной скорости. Какое значение следует придать отношению x/t пройденного расстояния x к интервалу времени t, когда величина t становится очень малой ? Неспособные представить для себя минимум, хороший от нуля, древнейшие дали ему значение ноль. Сейчас с помощью понятия предела верный ответ находится немедля: моментальная скорость есть предел дела x/t при t, стремящемся к нулю
Таким макаром, все эти парадоксы связаны с понятием предела; оно стало центральным понятием исчисления нескончаемо малых.
Парадоксы Зенона известны нам благодаря Аристотелю, который привел их в собственной «Физике», чтоб подвергнуть критике. Он различает бесконечность относительно сложения и бесконечность относительно деления и устанавливает, что континуум нескончаемо делим. Время тоже нескончаемо делимо, и в конечный интервал времени можно пройти нескончаемо делимое расстояние. Феномен «Стрела», который «является следствием догадки, что время составлено из моментов», становится несуразным, если принять, что время нескончаемо делимо.