Перенормировочная теория возмущений
Перенормировочная теория возмущений
В этом пт мы будем обращаться с неувязкой замыкания моментов в теории турбулентности очень специфически. Начнем с общего формализма, нередко именуемого «лямбда-разложением», а потом продолжим рассмотрение определенных теорий. Эти теории разбиты на два класса. Поначалу разглядим теории, которые несовместимы с колмогоровским рассредотачиванием энергии по волновым числам, а потом те, которые совместимы.
Начать можно с того, что способы, которые мы обсуждаем, в первый раз появились в теории многих тел статистической физики. Для того чтоб дать представление об общем способе, разглядим случай реального газа, который только немного неидеален. Разумеется, существует искушение представить это как возмущение безупречного газа, в каком составляющие его частички не ведут взаимодействие вместе. В микроскопичной физике основной величиной, позволяющей нам вычислить статистическую сумму, является гамильтониан. Из статистической суммы находятся макроскопические характеристики системы. Для безупречного газа гамильтониан может быть записан как в виде суммы гамильтонианов отдельных частиц, т. е.
, (177)
где Hi – гамильтониан отдельной частички, а суммирование проводится по N частичкам, составляющим систему.
Сейчас представим, что реальный газ имеет гамильтониан, который может быть записан в виде
, (178)
где 1-ый член есть сумма личных кинетических энергий частиц, а 2-ой – потенциал двухчастичного взаимодействия (кулоновский либо леннард-джонсоновский). В данном случае общая стратегия в теории многих тел состоит в попытке поменять взаимодействующие частички на презентабельные квазичастицы, которые уже не ведут взаимодействие и могут быть описаны одночастичными гамильтонианами:
(179)
Неувязка сейчас заключается в том, чтоб найти квазичастицы, зачем существует много эвристических способов, любой из которых адаптирован к определенной физической дилемме. К примеру, в случае колебаний решетки можно увидеть, что переход от функции (178) к функции (179) равносилен диагонализации гамильтониана, в согласовании с чем комфортно работать в определениях обычных мод. Но в общем случае существует только один способ, который является развитием теории возмущений и время от времени именуется l-разложением.
Перепишем уравнение для гамильтониана реального газа, введя параметр l:
(180)
с целью отметить порядок членов в разложении, который полагается равным 1 в конце вычислений. Другими словами, l играет роль параметра разложения в теории возмущений. Но так как он не мал, он не является аспектом для обрыва ряда в каком-то определенном порядке.
Все же, продолжая этот пример из микроскопичной физики, последующий шаг – это выражение для конфигурационной части статистической суммы
. (181)
Экспонента разлагается в ряд по степеням l, которая полагается в конце вычислений равной единице. Практическая трудность вычисления коэффициентов разложения связана с природой потенциала взаимодействия. Но общая стратегия заключается в том, чтоб изучить и систематизировать члены в каждом порядке – нередко при помощи графиков либо диаграмм для упрощения выявления топологических параметров – и отыскать метод суммирования членов некого вида во всех порядках по l. Получение таких частичных сумм нередко сопровождается введением действенных масс либо действенных зарядов. Подобные подходы могут быть применены и в турбулентности, но тут перенормированная величина – это действенная вязкость.
Турбулентность не является гамильтоновой системой, хотя можно сконструировать задачку при помощи лиувиллиана, чтоб выделить сходство с микроскопичными теориями, рассмотренными выше. Но обычно работают конкретно с уравнениями Навье–Стокса, с моментами поля скорости, что мы и будем делать дальше.
Разглядим уравнения Навье–Стокса в форме (134), но сейчас введем параметр l в нелинейный член
(182)
Мы напоминаем, что параметр l равен единице и употребляется только для упорядочения членов разложения. Сам по для себя этот параметр не может быть применен для оправдания обрывания ряда. В согласовании с этим (182) в точности совпадает уравнением (134).
Это уравнение содержит силу, которая определена так же, как и ранее. Мы требуем, чтоб взбалтывающая сила удовлетворяла условию (135) и имела гауссовское рассредотачивание вероятности, автокорреляция которого задается соотношением (137). Во всем остальном она произвольна. Формулировка трудности турбулентности базирована на предположении о том, что нелинейное взаимодействие, индуцированное уравнением (182), будет приводить к универсальному турбулентному полю скорости независимо от природы взбалтывающей силы. Но существо трудности турбулентности в том, что результирующее поле скорости при всем этом оказывается приметно негауссовским.
Это событие делает трудности в теории турбулентности. Для того чтоб решить делему замыкания, необходимо получить соотношения меж моментами различных порядков. Но, к огорчению, это можно сделать только для обычного (гауссовского) рассредотачивания. Мы уже лицезрели, что догадка квазинормальности, которая подразумевает связь меж моментами 4-ого и второго порядков, не работает. Разумеется, нужно соблюдать осторожность относительно метода, при помощи которого турбулентное поле можно рассматривать как возмущение обычного процесса. Определенный путь реализации этих представлений отличает одну теорию турбулентности от другой. Можно обеспечить условия, в каких просто дискуссировать разные подходы, если выложить поначалу некий общий формализм. Мы создадим это последующим образом.
Разглядим уравнения Навье–Стокса при l = 0, т. е. мы проводим мысленный опыт, в каком жидкость приводится в движение взбалтывающей силой, но нелинейные члены отключены. В этих критериях отклик воды определяется кинематической вязкостью, так что решение (182) можно записать в виде
, (183)
где верхний индекс «0» показывает на то, что поле скорости является решением уравнений Навье–Стокса при l = 0.
Желая свести математические трудности к минимуму, разглядим основную идею, которая заключается во внедрении очень обычный формы записи. Представим (183) в виде
, (184)
где G(0) – функция Грина exp{–n0 k2 (t – t?)}. Тут и дальше мы будем использовать целые числа для того, чтоб отличать поля.
Из последнего уравнения, также из определения взбалтывающей силы следует, что поле u(0) имеет обычное рассредотачивание, потому его моменты удовлетворяют ряду соотношений. Во-1-х, все нечетные моменты равны нулю:
. (185)
Сейчас если скомбинировать свойство однородности с факторизацией гауссовских моментов четного порядка, то получим
, (186)
(187)
где целые числа 1, 2, …, n соответствуют волновым числам k1, k2, …, kn, а Q(0) – явное обобщение записи момента второго порядка (либо спектральной плотности) для поля нулевого приближения.
Мы можем окончить наш мысленный опыт включением нелинейных членов, скажем при t = –?. Воздействие нелинейных членов выражается, благодаря нелинейному смешиванию, в том, что все моды нулевого приближения оказываются связанными в результирующем поле u(k). И, конечно, u(k) очень отличается от гауссовского рассредотачивания.
Можно выразить это математически, выписав выражение для результирующего поля при помощи ряда теории возмущений:
(188)
В этом разложении только результирующее поле и поле нулевого приближения имеют ясный физический смысл. Другие члены u(1), u(2), … являются членами высшего порядка и могут быть выражены итеративно при помощи поля нулевого приближения. Они могут быть вычислены подстановкой выражения (188) в уравнение (182) и приравниванием членов 1-го порядка по l. В итоге:
(189)
(190)
(191)
и т.д..
Если подставить эти члены назад в уравнение (188), то можно проинтерпретировать разложение на базе порядка трудности связи мод. Исходя из убеждений наших подготовительных замечаний относительно заморочек описания на микроуровне систем типа несовершенного газа любопытно отметить, что имеется сходство меж написанным выше разложением и, скажем, кластерным вириальным разложением. Но, с нашей точки зрения, уравнение (188) с учетом (189) – (191) и других порядков дает общее выражение для четкого (негауссового) поля скорости при помощи гауссового поля нулевого приближения.
Можно выделить этот нюанс, записывая выражение для моментов второго порядка. В нашей скелетной системе записи Q(k) = au(k) u(–k)n, потому, подставляя выражения из предшествующего уравнения и выполняя усреднение, получим
. (192)
Это наша общая форма для четких моментов второго порядка (спектральной плотности), выраженных чрез моменты нулевого приближения. Если б l было малым, то можно было бы оборвать правую часть (192) на неких подходящих членах, как делается в обыкновенной теории возмущений. Но на некой стадии следует положить l = 1, и в этих критериях может не быть оправдания для обрывания ряда на членах низкого порядка. Если мы и знаем что-либо об этом ряде, так это то, что он в высшей степени расходящийся. В последующем пт разглядим метод, при помощи которого может быть достигнута перенормировка.
В этом пт техника перегруппировки и частичного суммирования, применяемые в l-разложении в микроскопичной физике, использована к ряду теории возмущений в уравнениях Навье–Стокса. В первый раз это было изготовлено Уайлдом (1961), который предложил анализ скалярного аналога этих уравнений, который позднее был обобщен Ли (1965) на трехмерные уравнения Навье–Стокса, также на уравнения магнитной гидродинамики. Дадим тут только некое представление об этой технике, полное описание которой вместе с обоснованием неких качеств можно отыскать в разных изданиях [МакКомб, 1990]. Но короткое изложение желательно, по сопоставлению с длинноватым перечислением ограничений, если мы желаем узреть, как появляются перенормированные величины в самом общем виде.
Начнем со смены терминологии. Будем именовать Q(0) и G(0) корреляцией и пропагатором в нулевом порядке соответственно. Оправдание наименования последней величины связано с тем, что функция Грина дает зависимость от времени для поля скорости в отсутствие нелинейных эффектов, также отклик на внешнюю силу в согласовании с уравнением (183). Разумеется, мы желаем найти четкие (перенормированные) корреляцию и пропагатор. Метод, которым это будет изготовлено, принадлежит больше к топологии, чем к физике.
Если мы разглядим ряд теории возмущений для поля скорости (188) с учетом соотношений (189) – (191), то, как мы уже замечали, он может быть интерпретирован исходя из убеждений разложения по трудности членов. Разумеется, что это – топологическое свойство, потому введем диаграммное представление разложения для прояснения топологического нюанса. Создадим это, если установим соответствие меж математическим выражением членов и элементами диаграмм последующим образом:
сплошная линия «u(0)
пунктирная линия «G(0) (193)
точка (верхушка) «M .
Используя эти обозначения, можно записать ряд теории возмущений (188) в диаграммной форме, как показано на рис. 8.
Рис. 8. Диаграммы, надлежащие членам ряда
теории возмущений (188) для поля скорости
Хотя мы не отмечаем на диаграммах волновые числа, но следует увидеть, что три элемента всегда встречаются в верхушке, в какой всегда производятся законы сохранения. Потому мы считаем, что волновое число слева от верхушки равно сумме волновых чисел 2-ух частей справа.
Наш последующий шаг нацелен на то, чтоб из этих частей получить диаграммное разложение для четкой корреляции. Другими словами, нам хотелось бы иметь диаграммное разложение для четкой корреляции Q, выраженное через элементы Q(0), G(0) и верхушку M. Все, что нам необходимо – это графический эквивалент факторизации моментов четного порядка в виде произведений парных корреляций.
По сути метод, которым мы это создадим, очень прост. Расположим любые пары диаграмм ветвями друг к другу, а потом соединим все стопроцентно независящие сплошные полосы так, чтоб соединить две диаграммы всеми вероятными методами и отметим, что две скорости связаны при помощи крестика, который помещается в точке соединения. Численный множитель выходит умножением каждой диаграммы на число методов, при помощи которых соединение линий дает одну и ту же диаграмму. Этот процесс проиллюстрирован на рис. 9, где мы проявили диаграммы нулевого порядка и два примера диаграмм второго порядка.
Таким методом можно написать полное разложение для четкой парной корреляции до хоть какого порядка по параметру итераций. Последующий шаг состоит в поиске путей суммирования этих членов во всех порядках. Следуя Уайлду, введем перенормированные диаграммные элементы последующим образом:
жирная сплошная линия «u четкая скорость
жирная пунктирная линия «G перенормированный
пропагатор
кружок «о перенормированная
верхушка.
Рис. 9. Примеры процедуры осреднения с полем нулевого порядка,
приводящей к диаграммам разложении Qab(k; w, w?)
Отсюда следует, что в диаграммном обозначении четкая парная корреляция – это две жирных сплошных полосы, соединенных крестиком.
Все же подчеркнем, что мы не пользуемся этими элементами в данном изложении. Мы вводим их только для того, чтоб разъяснить основную идею. Будем опять следовать Уайлду, и разделим делему на две части. Опять привлекаемые идеи являются топологическими, и основаны на систематизации диаграмм на два типа: класс А и класс B. Потому с целью напоминания временно сохраним полные обозначения и запишем точную парную корреляцию в виде суммы отдельных вкладов от 2-ух типов диаграмм, а конкретно:
, (195)
где w, w? – угловые частоты, связанные при помощи преобразования Фурье с периодически t, t?. Сейчас мы разглядим по очереди два типа диаграмм.
Класс А диаграмм: перенормированный пропагатор
Класс А диаграмм определен как такие диаграммы, которые можно расщепить на две части, разрезая одну независимую Q(0) линию. Если мы взглянем на первую (нулевого порядка) диаграмму на рис. 9, то она как раз удовлетворяет определению диаграмм класса А. Ясно, что ее можно интерпретировать при помощи уравнения (184) последующим образом:
, (196)
где последний шаг следует из (137), а w – спектральная функция взбалтывающей силы.
Переходя ко второму порядку мы лицезреем, что 2-ая диаграмма на рис. 9 не удовлетворяет аспекту для диаграмм класса А, а 3-я – удовлетворяет. И хотя мы не показываем это, каждый просто может убедиться в том, что должно быть зеркальное отображение таковой диаграммы, давая две диаграммы класса А во 2-м порядке. 1-ая из их (которая показана) может иметь свою Q(0) линию слева, представленную в виде произведения G(0)G(0)w, в то время как 2-ая такая диаграмма может иметь независимую Q(0) линию справа, факторизованную аналогичным образом. Таким макаром, во 2-м порядке имеется две группы диаграмм класса А, в каких диапазон взбалтывающей силы возникает совместно с G(0) то с одной стороны, то с другой. Если мы будем поступать таким макаром с диаграммами класса А, то можем написать
, (197)
где G(k, w) – перенормированный пропагатор, равный сумме всех порядков подходящим образом измененных диаграмм класса А.
В этом месте следует увидеть для предстоящего, что подход Уайлда не является самым общим. Практически шаг, рассмотренный выше, эквивалентен утверждению, что четкий пропагатор определен системой откликов на взбалтывающую силу.
Класс В диаграмм: перенормированый ряд теории возмущений
В класс В диаграмм входят все те диаграммы, которые не попадают в класс А. Вернемся снова к рис. 9. 1-ая из диаграмм второго порядка не может быть разбита на две части разрывом одной Q(0) полосы и потому является примером диаграмм класса В, которых во 2-м порядке имеется только одна.
Сейчас разглядим идеи, применяемые при работе с диаграммами класса А. Мы уже отмечали, что некие диаграммы соединены подобно G(0) и, как следует, являются пропагатороподобными, потому просуммируем их все для получения перенормированного пропагатора G. Из чисто топологических суждений следует, что можно перенормировать нагую верхушку, добавляя все диаграммы, соединенные подобно верхушке.
Можно сконструировать общий метод для этих процессов последующим образом:
1. 1. Выделим все диаграммы, которые не могут быть сведены к диаграммам низшего порядка подменой частей этих диаграмм.
2. 2. Назовем иx неприводимыми диаграммами.
3. 3. Заменим все нагие элементы в неприводимых диаграммах на их перенормированную форму.
4. 4. Выпишем все эти измененные диаграммы по порядку, получив таким макаром перенормированный ряд теории возмущений.
Для полноты картины покажем результаты схожей процедуры, проведенной до 4-ого порядка на рис. 10, куда мы включили также диаграммы, приобретенные из диаграмм класса А ранее.
Рис.10. Диаграммы, надлежащие интегральному уравнению для Q(k; w, w?)
В этом пт разглядим те теории турбулентности, которые принадлежат к классу перенормируемых теорий второго порядка и которые не дают колмогоровский диапазон в качестве решения при огромных числах Рейнольдса. Огромную часть места отведем исторически принципиальным теориям, которые были призваны сыграть огромную роль в рассматриваемой области исследования. Мы обратимся к приближению прямых взаимодействий DIA Кречнана (1958), к теории Эдвардса фоккер-планковского типа EFP (1964) и к теории самосогласованного поля Геринга (1965).
Методика DIA была развита в ряде статей, закончившихся общей формулировкой в 1958 году. Главным моментом этой теории было введение функции нескончаемо малого отклика . Представим, что взбалтывающая сила предана флуктуации вида f ® f + df, вводящей таким макаром подобающую флуктуацию в поле скорости u ® u + du, тогда для малых df, du линеаризованный отклик системы можно записать как
, (198)
где – тензор нескончаемо малого отклика.
Уравнение для можно получить линеаризацией уравнений Навье–Стокса для малой добавки. Разумеется, что будет флуктуировать от реализации к реализации, потому мы вводим средний по ансамблю отклик в виде , при всем этом, используя пространственную однородность, итог можно записать в диагонализированной форме:
. (199)
Тут и дальше мы следуем процедуре, описанной чуть повыше. Поначалу делаем l-разложение, потом заменяем каждое выражение нулевого порядка для Q(0) и G(0) на ренормализованные Q и G соответственно, обрывая на втором порядке по l и полагая l = 1. Для изотропного варианта результирующие уравнения для Q и G имеют вид:
(200)
(201)
Ранее мы встречали коэффициент L(k, j) в связи с теорией квазинормальности, определенный соотношением (169). Практически это тот коэффициент, который возникает практически во всех перенормированных теориях второго порядка в изотропном случае.
Теория Кречнана DIA рассматривалась как огромное продвижение вперед, как существование на физическом уровне осмысленного модельного представления, потому что при интегрировании по времени вперед она давала гарантированно положительный диапазон, устраняющий катастрофу, связанную с догадкой квазинормальности.
Кречнан показал, что уравнения DIA владеют свойством сохранения энергии в нелинейных взаимодействиях; при применении к ансамблям в состоянии абсолютного равновесия эти уравнения дают равнораспределенные решения (т. е. дисперсия скорости не находится в зависимости от волнового числа) вместе с флуктуационно-диссипативным соотношением (т. е. функция отклика равна дисперсии как функции от времени). Как отмечал Кречнан, это дает статистическую базу для переноса энергии от очень возбужденных мод к слабо возбужденным модам. В реальных случаях, когда жидкость обладает конечной вязкостью, это значит перенос энергии от малых волновых чисел к огромным.
Но в случае огромных чисел Рейнольдса модель DIA в инерционной области давала диапазон, пропорциональныый k–3/2, а не экспериментально подтвержденный k–5/3 диапазон Колмогорова. Этот итог стимулировал поиски теории, способной предвещать колмогоровский диапазон, который бы сохранял наилучшие черты модели DIA. Не считая того, этот итог стимулировал также энтузиазм к исследованию воздействия огромных вихрей на декоррелирующий процесс (sweeping), обусловленный маленькими вихрями (см. обсуждение дальше).
Как было отмечено ранее, формулировка трудности при помощи характеристических функционалов (либо через рассредотачивание вероятности) математически эквивалентна формулировке трудности при помощи моментов. Но в первом случае линейность начальных уравнений дает некие достоинства, которые были применены Эдвардсом в смелой попытке применить теорию броуновского движения.
Следуя работе Эдвардса (1964), определим турбулентный ансамбль заданием взбалтывающей силы. Примем, что взбалтывающая сила является случайной с мультидисперсионным обычным рассредотачиванием, автокорреляция которой дается выражением (138), чтоб быть уверенным в полной некоррелированности силы по времени. Усредненная функция рассредотачивания вероятностей флуктуирующей скорости (P) выходит при помощи усреднения по ансамблю, определяющему рассредотачивание вероятностей взбалтывающей силы, что позволяет получить уравнение для P. Это уравнение является обобщением уравнения Лиувилля, при использовании которого появляются нетривиальные трудности из-за того, что взбалтывающая сила очевидно заходит в это уравнение. Эта неувязка подобна вычислению перекрестной корреляции скорости и силы, которую мы рассматривали ранее. Более общая трактовка этой точки зрения [Эдвардс, 1964; Новиков 1965] приводит к последующему уравнению для P:
(202)
Это уравнение должно быть решено приближенно, зачем мы поначалу запишем его в облегченной форме:
, (203)
где определение вида операторов и V делается сопоставлением с предшествующим выражением. При всем этом мы проведем лямбда-разложение, представив функцию рассредотачивания P в виде
(204)
, (205)
где вид должен быть определен.
Определим сейчас , при этом создадим это так, чтоб P0 @ P. Мы проведем это в два шага. Поначалу добавим и вычтем из правой части уравнения (203). Потом припишем порядок l выражению VP, потому что этот член имеет значительно тот же смысл, что и нелинейность в уравнениях Навье–Стокса. Для корректного определения мы представим также, что имеет порядок l2. Потом, помня о том, что параметр l в окончательном итоге полагается равным единице, получим уравнение
, (206)
которое является основой для пертурбативного разложения.
На этой стадии Эдвардс представил, что диапазон силы W(k) и скорость затухания мод из-за вязкости могут быть изменены на
(207)
где s(k), r(k) выражают воздействие нелинейности. С физической точки зрения это правдоподобный шаг, потому что можно утверждать, что для хоть какой моды нелинейное взаимодействие появляется за счет того, что привносится модами с наименьшими и передается модам с огромным . Практически уравнение (207) представляет одновременную ренормализацию взбалтывающей силы и вязкости. Перенормировка оператора достигается при всем этом за счет прибавления членов, содержащих :
(208)
с вычитанием соответственных членов, позволяющих получить корректирующий оператор .
С оператором нулевого порядка, данного соотношением (208), уравнение (205) для рассредотачивания основного порядка, как просто показать, имеет решение
, (209)
где N – это приближенная нормализация, s(k), r(k) удовлетворяют соотношению
, (210)
а 2-ой момент скорости дается выражением
(211)
Коэффициенты в разложении P должны быть найдены из сопоставления членов схожего порядка по l. Воззвание оператора нулевого порядка осуществляется при помощи разложения по его своим функциям. Если P1, P2, … найдены, то следствием уравнения (211) является итог
, (212)
в каком члены нечетного порядка не заносят вклада из-за симметрии.
Вычисление этого условия до второго порядка приводит к уравнению энергии
(213)
и отклика
. (214)
Эти уравнения являются уравнениями второго порядка по взаимодействию, аналогично соответственному результату для модели DIA, соотношения (200) и (201). Но в противоположность DIA они не зависят от времени. Кречнаном показано, что две теории можно связать, предполагая, что в модели DIA временная зависимость может быть аппроксимирована экспонентой со скоростью затухания мод w(k), с следующим интегрированием по промежным временам. Этим методом он отыскал, что уравнение энергетического баланса сводится к уравнению Эдвардса, а уравнения для отклика воспринимает вид
. (215)
Необходимо подчеркнуть, что уравнение отклика в модели DIA имеет только два соответствующих времени, появляющиеся в знаменателе, в то время как EFP уравнение имеет три.
Эдвардс (1965) показал также, что из рассмотрения ограниченных параметров уравнения EFP в пределе нескончаемого числа Рейнольдса следует ряд увлекательных результатов.
При стремлении к этому лимиту мы представим, что вязкость стремится к нулю таким макаром, чтоб скорость диссипации оставалась неизменной. Из определения колмогоровского диссипативного волнового числа в согласовании с (147) следует, что диссипация двигается в область нескончаемых волновых чисел и в этом пределе стремится к дельта-функции на бесконечности.
В общем случае диапазон накачки W(k), который является произвольным, должен быть избран в виде функции, сконцентрированной поблизости начала координат в k-пространстве так, чтоб универсальное поведение могло развиться при огромных волновых числах. Но если мы уменьшаем вязкость, то становится легче возбуждать моды при малых волновых числах, и в пределе оказывается, что мы можем возбуждать систему при k = 0, т. е. накачка энергии может быть задана тоже в виде дельта-функции, но сейчас сначала координат.
При осуществлении этих критерий, когда энергия подводится в точке k = 0 при помощи наружной взбалтывающей силы и откачивается в точке k = ? за счет диссипации, колмогоровский диапазон можно ждать во всей области волновых чисел, так что степенной закон для спекральной плотности, определеннный в безразмерных переменных, дается выражением (152). Аналогичным образом анализ размерностей дает нам скорость затухания мод в виде
, (216)
где b – некая неизменная, подлежащая определению. На базе этого Эдвардс показал, что уравнения (213) и (214) сводятся к
(217)
(218)
В принципе эти два уравнения должны могли быть определять и константы a и b, но возникает затруднение в уравнении для отклика, которое оказывается неинтегрируемым из-за расходимости при j = 0. Это именитая инфракрасная расходимость теории турбулентности.
Отлично узнаваемый способ самосогласованного поля был использован к дилемме турбулентности Герингом (1965, 1966). Способ был похож почти во всем на способ Эдвардса и приводил (в собственной не зависящей от времени форме) к EFP уравнению энергии (213) и, что интересно, к независимому от времени DIA уравнению (215) для отклика, а не EFP форме (214). В собственной последней, зависящей от времени, формулировке способ самосогласованного поля Геринга дает DIA уравнения.
Недочет места не позволяет разглядеть эту элегантную теорию довольно тщательно, она рассмотрена в работе [МакКомб, 1990]. Более поздние пробы теорий самосогласованного поля в турбулентности зависимо от главных догадок приводили или к уравнениям Геринга [Балеску и Сенаторски, 1970], или к DIA уравнениям [Питиан, 1969]. Одно из тривиальных приложений всего этого заключается в том, что перенормировочные теории первого рода являются некой формой теорий самосогласованного (либо среднего) поля. Потому что они не совместимы с колмогоровским диапазоном, то отсюда следует, что колмогоровское рассредотачивание навряд ли является следствием теории самосогласованого поля вопреки рвению неких комментаторов проводить очень далековато аналогию с фазовыми переходами второго рода и утверждать, что это так и есть [Сиггиа, 1977].
Из подобия соотношений (214) и (215) просто созидать, что беда DIA (по последней мере, в ее независимой от времени форме) с колмогоровским рассредотачиванием, также, как и EFP, может быть объяснена инфракрасной расходимостью. Но в общем случае беда DIA может быть связана с ее внутренней неспособностью различать эффекты однородной конвекции и процессы генерации внутренних напряжений, сопровождающиеся переносом энергии. В итоге теория не может поделить эффекты энергосодержащих (малых) волновых чисел от динамики в инерционной области [Кречнан, 1964b]. Кроме этого любопытно отметить, что этот анализ связан с догадкой «случайного свиппинга», которая утверждает, что затухание эйлеровской двухточечной корреляции на малых масштабах определяется крупномасштабным свиппингом с временем декорреляции (kU)–1, где U – некая соответствующая скорость в области энергосодержащих волновых чисел. Внедрение численных способов для исследования случайного свиппинга стало в текущее время очень пользующимся популярностью, и мы сошлемся тут на ряд ведущих работ в этом направлении [Чен и Кречнан, 1989; Нелкин и Табор, 1990; Санда и Шанмугусандаран, 1992; Гото и др.), замечая, что, по последней мере, в области от малых до умеренных чисел Рейнольдса результаты подтверждают эту догадку.
Упомянутый выше анализ Кречнана (1964), ориентирован на общую формулировку принципа стохастической галилеевой инвариантности, которой должна удовлетворять теория. Естественно, элементарным является утверждение о том, что уравнения Навье–Стокса и теории, основанные на их, удовлетворяют обыкновенной форме инвариантности Галилея [МаКомб, 1990]. Но совершенно не разумеется, что теории удовлетворяют более общему стохастическому условию, и, не считая того, не ясно, что это условие можно подходящим образом сконструировать.
Все же Кречнан получил, что не только лишь DIA, но также все эйлеровские двухвременные корреляционные теории должны с неизбежностью нарушать это условие и, как следует, быть неспособными подтверждать колмогоровскую картину динамики в инерционной области. Как мы увидим дальше, это чрезвычайно пессимистическая точка зрения. Разглядим только исходные стадии альтернатив Кречнана, состоящие во внедрении новейшей координатной системы, которая имеет некое отношение к лагранжевым координатным системам, описанным выше. Результирующие уравнения необыкновенно сложны, более того, не зависимо от того, что они с очевидностью дают колмогоровский диапазон, они требуют некого упрощения, потому существует несколько разных форм этих уравнений. Полное рассмотрение проведено в работе [МакКомб, 1990], тут же дано короткое введение.
При исследовании проблем DIA Кречнан (1964) увидел, что внедрение обрезания по волновым числам избавляет неверные конвективные эффекты и что это эквивалентно представлению уравнений Навье–Стокса в квази-лагранжевой системе координат. Он переформулировал DIA уравнения в нареченные им координаты «лагранжевых траекторий» [Кречнан, 1965]. Основным шагом в этой процедуре является введение обобщенной скорости u(x, t|s), которая определена как скорость водянистой частички, которая была в точке x в момент времени t, измеренная в момент времени s. Два разных времени известны как
t = время маркировки,
s = время измерения.
Ясно, что обобщенная скорость должна удовлетворять двум предельным условиям:
(219)
и для фиксированных значений (x0, t0)
, (220)
где V – поле лагранжевой скорости, определенной выше. Практически зависимость от t является эйлеровской чертой, в то время как s – лагранжевой.
Когда t = s, обобщенная скорость является чисто эйлеровской и удовлетворяет уравнениям Навье–Стокса. В неприятном случае можно показать, что обобщенная скорость удовлетворяет уравнению
(221)
Потому при t = s обобщенная скорость удовлетворяет условию несжимаемости, чего нет в случае нарушения этого условия. Кречнан использовал это событие для разделения обобщенной скорости на соленоидальную и незавихренную части, к которой DIA не может быть использована. Последующие пояснения могут быть найдены в работах Кречнана (1965, 1977) и Кречнана и Геринга (1978). Как мы уже отмечали ранее, результирующие усложнения являются очень значительными, и существует несколько направлений, по которым можно честно следовать начальной постановке задачки. К тому же не так давно Базденков и Кухарин (1993) указали, что итог находится в зависимости от того, что принято за начальное поле: поле скорости, поле напряжений либо поле завихренности. Непременно, нужно отметить, что, пользуясь этой теорией, Кречнан (1966) опубликовал теоретическое значение спектральной константы Колмогорова a = 1,77, которое находится в границах области экспериментальных значений.
В конце концов, ради полноты отметим неэйлеровское перенормированное разложение Хорнера и Липовски (1979), в каком был применен формализм Мартина, Сиггиа и Роуза для построения галилеево-инвариантного разложения, также способ Канеды (1981), в каком предложен вариант кречнановской формулировки на базе лагранжевых траекторий с внедрением производных по измеримому времени, а не по маркировочному. Эти теории также приводят к отличному пророчеству константы Колмогорова с a = 1,72 [Канеда, 1986].
Были изготовлены две пробы решения EFP теории. Эдвардс и МакКомб (1969) получили уравнения для отклика, максимизируя турбулентную энтропию. 2-ая попытка была базирована на догадке локальности переноса энергии [МакКомб, 1974; 1976] и приводила к LET теории, которая будет рассмотрена в последующем пт. Тут мы будем следовать Эдвардсу и МакКомбу (1969), которые проявили, что энтропия, интерпретируемая как отрицательная информация, применима для описания неких систем, которые не находятся в состоянии термодинамического равновесия. Так если вид [Шеннон и Вивер, 1949] задать выражением
, (222)
где k – неизменная, а интегрирование проводится по всем переменным системы, то для P, являющимся решением уравнения (202) в виде l-разложения (204), получим энтропию турбулентности в виде
(223)
где нечетные по маркировочному параметру члены исчезают при интегрировании благодаря симметрии, член второго порядка P2 не заносит вклада из-за наложенного на него условия (212). Необходимо подчеркнуть, что мы положили константу k = 1, потому что она не существенна для вычислений.
Коэффициент P0 задан соотношением (209). Для определения P1 сошлемся на результаты Эдвардса (1964), Эдвардса и МакКомба (1969) либо МакКомба (1990). Этот член является членом первого порядка по нелинейности и сущность функционал от q(k) и w(k).
Результирующее выражение для члена второго порядка для турбулентной энтропии имеет вид
(224)
где маркирующий параметр положен равным единице, а выражение L(k, j, l) связано с выражением (169) соотношением
. (225)
Заметим, что 1-ый член в правой части (224) есть число степеней свободы системы и, так как оно повсевременно, не заносит вклада при дифференцировании.
Сейчас, исходя из EFP теории, мы лицезреем, что уравнение энергии дает одно соотношение для 2-ух неведомых q(k) и w(k), а варьирование энтропии S(q(k), w(k)) по w(k) даст нам 2-ое. Но для того чтоб сделать это, мы должны принять во внимание, что имеющееся соотношение меж q(k) и w(k) действует как ограничение на вариацию. В согласовании с этим мы и должны записать вариационный принцип, который дает нам 2-ое соотношение в виде
, (226)
в каком коэффициент перед вторым членом в правой части уравнения может быть получен из (210) в виде
. (227)
Так как 2-ой член в правой части уравнения востребовал бы больших усилий для собственного вычисления, Эдвардс и МакКомб просто опустили его. Обнаружив вариацию S в согласовании с (227), они получили новое уравнение для отклика. Для некого личного w(A) оно имеет вид
(228)
Хотя мы не приводим его полную форму, ясно, что оно существенно труднее, чем первоначальное уравнение (214) для отклика в EFP теории. Все же некие из этих дополнительных усложнений нужны, потому что обоюдное ликвидирование разных членов с различными знаками приводит к устранению расходимости, как и в случае уравнения сохранения энергии.
Переходя в этом уравнении к лимиту нескончаемого числа Рейнольдса и решая его сразу с (217), получим константу Колмогорова k = 3,8, которая примерно вдвое больше применимого экспериментального значения. Но из-за отбрасывания членов определенного вида нереально гласить о точности этого способа, кроме того, что он избавляет инфракрасную расходимость.
Необходимо отметить, что обычная мысль максимума энтропии для турбулентной системы вызывает скепсис (к примеру, [Монин и Яглом, 1975], [Киан, 1983], [Базденков и Кухаркин, 1993]), а обычная оценка этого способа заключается в утверждении, что принцип максимума энтропии применим только к состоянию термодинамического равновесия изолированной системы. По-видимому, эта точка зрения базируется на недопонимании. Критика была бы вне сомнения правильной, если б турбулентная система задавалась на микроскопичном уровне, потому что в этих критериях происходила бы генерация энтропии. (В этом смысле представляется напрасным то, что Эдвардс и МакКомб не называли константу k константой Больцмана). Но выражение (223) применимо только к макроскопической конфигурации и является конфигурационной либо информационной энтропией и не имеет ничего общего с термодинамикой. Вариация рассчитывается в духе принципа, который утверждает, что из всех рассредотачиваний, удовлетворяющих подходящим ограничениям, нужно избрать одно с большей энтропией в качестве лучшей оценки либо более возможного состояния. Отменная общая дискуссия по этому вопросу может быть найдена в работе [Шор, Джонсон, 1980].
Другая измененная теория EFP была предложена Кианом (1983), которая очень близка к уникальной работе Эдвардса, но где был использован другой аспект для оценки точности способа. В только-только описанном способе максимума энтропии мы в неком смысле минимизируем разность P – P0, и минимизация отрицательной энтропии есть тот способ, призванный сделать это. Киан выбирает способ минимизации , где – лиувиллиан системы, а – оператор Фоккера–Планка. Приведем тут только короткое описание способа, к огорчению Киан употребляет ad hoc модификацию облегченных обозначений Геринга, что вызывает некие трудности при сопоставлении его результатов с плодами других создателей.
Основной постулат заключается в том, что нелинейность уравнений Навье–Стокса может быть смоделирована подменой
(229)
где все знаки имеют свое изначальное значение. Киан применил способ среднеквадратичной подгонки в качестве аспекта выбора величины затухания мод w(k). Для величины I среднеквадратичной невязки он написал
(230)
и востребовал выполнения условия
, (231)
которое дает уравнение для отклика. Это приводит к теории, совместимой с колмогоровской моделью и, разумеется, находится в неплохом согласии с тестом, потому что способна учитывать мелкомасштабную перемежаемость и предсказать фактор выполаживания производной по скорости: см. [Киан, 1990].
Но эта теория была предана критике МакКомбом (1990), в какой было обозначено, что вариация по w(k) не свободна, и что ситуация в точности такая же, что и с способом наибольшей энтропии. Ясно, что должно быть I = [w(k), q(k)], в согласовании с этим МакКомб представил, что дифференцирование практически обязано иметь тот же вид, что и (227). Базденков и Кухаркин (1993) сослались на эту критику и указали, что Киан выкинул взбалтывающую силу при переходе от (230) к (231), что нарушило связь q(k) с w(k), и, как следует, возражение МакКомба было отброшено. Но эти создатели отметили, что стоимость, заплаченная за это, есть некая степень произвольности в теории Киана. Так как эта теория оказывается применимой в практическом смысле, она была бы полезна, если б эти фундаментальные уравнения можно было бы упростить.
Как упоминалось ранее, теория LET начала свою жизнь как ad hoc модификация EPT теории, основанной на идее, что отклик турбулентной системы может быть определен локально по волновым числам при помощи рассмотрения баланса энергии. Позднее эта мысль была всераспространена на зависящий от времени случай [МакКомб, 1978] и совершенно не так давно была переформулирована [МакКомб, Филипяк, Шанмугасундарам, 1992]. LET уравнения были также получены независимо в работах Накано (1988) и Пандья (1995). В последней ссылке содержится модельное представление LET теории, которое гарантирует ее осуществимость.
Основная догадка LET теории – это догадка о том, что поле скорости связано само с собой в поочередные моменты времени четким пропагатором. Начальное предположение [МакКомб, 1978] было изготовлено на языке поля скорости (в пространстве волновых чисел), и в случае функции отклика в DIA теории употреблялся средний по ансамблю пропагатор. В собственной обыкновенной форме четкий пропагатор H вводился при помощи соотношения
. (232)
Потом в теории перенормированных возмущений второго порядка по маркировочному параметру получаются уравнения для отклика и энергии:
(233)
и
(234)
Сравним сейчас LET уравнения с DIA уравнениями. Разумеется, что уравнения энергии (234) и (201) схожи. Но если мы сравним уравнение (200) для функции отклика в DIA теории с уравнением (233) для функции отклика в LET теории, пропагатор H, то мы увидим, что левые части уравнений схожи, а в правой части (233) содержится довольно непростой нелинейный член. До боли просто показать, что этот член избавляет инфракрасную расходимость в уравнении для функции отклика при k ® j. Мы вернемся к численным пророчествам позднее, но уже тут полезно отметить, что LET теория предвещает колмогоровский диапазон с константой k = 2,5, которая дает завышенное значение, но не является несопоставимой с тестом и с плодами численных расчетов.
Закончим этот пункт замечанием о том, что уравнение (232), которое сейчас можно рассматривать как базу догадки LET теории, схожей флуктуационно-диссипативному соотношению в форме, не ограниченной применением только к микроскопичным системам [Кубо, 1966]. Следует также отметить, что связь меж флуктуационно-диссипативной аксиомой и теорией турбулентности не нова. Геринг (1966) увидел, что соотношение меж SCF и DIA осуществляется в этой форме. Не так давно Канеда (1981) нашел, что вариант кречнановской теории лагранжевых траекторий имеет форму флуктуационно-диссипативного соотношения. К тому же упомянутые работы Накано (1988) и Пандья (1995) позволяют получить некую форму флуктуационно-диссипативного соотношения, дают другие пути вывода LET теории.
В этом пт мы кратко обсудим некий класс турбулентных моделей, которые вызвали большой энтузиазм в последние годы, в особенности в смысле практического приложения. Но нужно объяснить, что термин «модель» мы используем для обозначения теории, основанной на неком специфичном предположении, приводящем к наличию свободного параметра, который обычно употребляется для того, чтоб сделать пророчества модели согласующимися с тестом.
Основная мысль состоит в рассмотрении случайного блуждания, где каждый шаг находится в зависимости от предшествующего, но не от предпредыдущего шага. Естественно, турбулентность есть в наилучшем случае процесс коррелированного случайного блуждания и потому не в точности марковский. Все же заступники такового подхода говорят, что турбулентность может быть отнесена при неких критериях к практически марковскому процессу, в особенности, когда турбулентный масштаб времени сравним с вязким временем.
Этот тип теорий обычно связывается с работой Орзага (1970), который дискуссировал применимость догадки квазинормальности и указал, что интеграл памяти в этой теории (см. правую часть уравнения (170)) ограничен масштабом времени, определенным по кинематической вязкости воды. Но воздействие турбулентности должно разрушать корреляции, потому интеграл памяти должен быть обрезан на временах, определяемых турбулентной декорреляцией. В согласовании с этим Орзаг предложил, что вязкое время жизни (т. е. 1/(nk2)) должно быть заменено на 1/w(k), т. е. уравнение (170) следует поменять на
(235)
где скорость затухания мод остается данной.
Если мы вернемся к нашей дискуссии о пределе нескончаемых чисел Рейнольдса, то увидим, что суждения размерности будут определять скорость затухания мод в согласовании с соотношением (217). Потому если мы зададим эту форму для скорости затухания мод, то придем к тому, что уравнение (235) сведется к уравнению (218), и в итоге эта квазинормальность, обусловленная марковским нравом процесса, будет совместима с колмогоровской картиной.
Много вариантов моделей такового типа появляется в согласовании с тем, как решается неувязка выбора скорости затухания мод. Подчеркнем, что на этом пути фиксации квазинормальности ренормализация стоит не на первом месте. В RPT теории гауссовское среднее может быть получено совсем строго на уровне простых рядов теории возмущений, с следующей подменой парной корреляции нулевого порядка на точную и подменой пропагаторов нулевого порядка на четкий. Этот последний шаг является перенормировкой как такой, и можно найти рассмотренную выше марковизацию как некий вид post hoc ренормализации. Подробное описание рассмотренного подхода можно отыскать в книжке Лезьера (1987).
Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов