Ренормализационная группа (RG)
Ренормализационная группа (RG)
Магнетизм появляется из-за того, что спины в узлах решетки выстраиваются вереницей. Эта тенденция спинов к упорядочению обратна термическому воздействию, которое стремится сделать кавардак. Упорядочение появляется в виде случайной флуктуации на масштабах длин, изменяющихся от шага решетки (L0) до некой корреляционной длины (скажем, x). Корреляционная длина находится в зависимости от температуры и становится нескончаемой при температуре Кюри (либо в критичной точке). В критичной точке возникают флуктуации всех масштабов от L0 до размеров эталона, потому наступает полная всеобщая магнетизация.
Теоретическая задачка заключается в том, чтоб вычислить гамильтониан (и, как следует, термодинамические характеристики материала), который содержит члены взаимодействия в виде суммы по всем конфигурациям спинового взаимодействия. Тот факт, что все длины (в принципе) идиентично важны, заносит трудность, связанную с вопросом, с каких масштабов начать. Естественно, если некие масштабы исключены, то каким-то методом их воздействие должно быть сохранено.
Более обычная задачка появляется в модели Изинга, в какой вектора спинов являются булевскими и ориентированы только ввысь либо вниз, а промежные состояния отсутствуют. Не считая того, подразумевается, что спины ведут взаимодействие только с наиблежайшими соседями.
Приложение RG к этой модели можно рассматривать как некую форму укрупнения зернистости в последующем смысле. Мы начинаем с гамильтониана взаимодействия H0, связанного с 2-мя спинами, разбитыми расстоянием L0 (т. е. шагом решетки). Потом мы вычисляем действенный гамильтониан H1, связанный с областью размером 2 L0, усредняя воздействие масштабов L0. Потом мы вычисляем H2, связанный с длинами 4 L0, в каком проведено осреднение по масштабам, наименьшим либо равным 2 L0.
Описанный чуть повыше процесс может быть выражен формально через преобразование T, которое применяется рекурсивно: TH0®H1, TH1®H2, TH2®H3, … На каждой стадии масштаб длины меняется: L0®2L0, 2L0®4L0, … и для компенсации этого спиновые переменные масштабируются подходящим образом так, чтоб гамильтониан всегда был этим же самым в масштабированных координатах. Это есть как раз то самое перемасштабирвание, которое приводит к перенормировке, а огромное количество преобразований {T} определяет ординарную группу, которая и именуется группой перенормировок. Если итерирование преобразования приводит к результату
то HN именуется стационарной точкой. В случае критичных явлений эта точка соответствует критичной точке.
Сейчас разглядим обобщение этой процедуры на случай континуальной задачки (как в движении воды), которая тут нас интересует. Представим, что мы сделали преобразование Фурье и перебежали от z-пространства к k-пространству. Более того, представим, что мы удалили (каким-то методом) меньшие масштабы длин, скажем, наименьшие либо равные L–1, так что мы остались с гамильтонианом, который является функцией континуальных переменных в k-пространстве, H(L). Потом мы формально удаляем моды в полосе L/b ? k ? L последующим образом. Обозначим трехмерное спиновое поле через Sa(k), где a = 1, 2,3, и создадим последующие шаги:
1. 1. Проинтегрируем по всем Sa(k), для которых L/b ? k ? L.
2. 2. Перенормируем оставшиеся моды спинового поля, умножая волновые вектора на множитель b.
3. 3. Умножим каждый Sa(k) на неизменный множитель zb.
Параметр b должен удовлетворять условию 1 < b < ? и известен как пространственный перенормировочный множитель, а zb – как спиновый переномировочный множитель (терминология связана с магнетиками). Если мы запишем упомянутые три шага в виде
то огромное количество , 1 < b < ? можно именовать ренормализационной группой. Заметим, что мы не обусловили оборотное преобразование к , т. е. короче говоря, мы обусловили полугруппу. Красивое всеобъятное рассмотрение этого понятия приведено в работах [Вилсон, Когут, 1974] и [Вилсон, 1975].
Описанные выше идеи, связанные с рассмотрением статических критичных явлений, могут быть обобщены на динамические критичные явления, т. е. на те случаи, когда Sa(k, t) является функцией времени. Ма и Мазенко (1975) развили модель изотропного ферромагнетика и исследовали стационарную точку при помощи обобщения RG метода, рассмотренного в прошлом пт. Необходимо подчеркнуть, что имеется некое сходство меж этой задачей и неувязкой турбулентности, которое заключается в том, что спаривание меж спинами приводит к возникновению нелинейных членов в уравнении движения для спинового поля. Не считая того, в задачке с магнетиком нужно моделировать эффекты термического возбуждения, и это делается при помощи введения случайного шумового члена. Разумеется, что это аналогично введению взбалтывающей силы в случае турбулентности. Сходство усиливается к тому же тем, что шум рассматривается как многодисперсионный с гауссовским рассредотачиванием, т. е. в точности таковой же, как и в нашей формулировке трудности турбулентности.
Мы не будем вдаваться в детали уравнений движения: для нас довольно увидеть, что они содержат огромное количество характеристик m, в которое входят: наружное поле, интенсивность шумовой накачки, интенсивность связи спинов и некторые другие феноменологические характеристики и константы. Используя, где это может быть, обозначения предшествующего пт, определим сейчас RG как непрерывное огромное количество преобразований Rb, которые конвертируют m в m?, так что
и определяемое последующим образом:
1. 1. Нужно решить уравнение движения для всех Sa(k, t), для которых L/b ? k ? L, подставить решение в оставшиеся уравнения движения и усреднить по случайному шуму. Это исключает коротковолновую компоненту поля из уравнений движения.
2. 2. Пернормировать оставшиеся моды спинового поля при помощи умножения волновых векторов на множитель b, заменив длину L в физическом пространстве на bL?, заменяя спиновое поле на b1–h/2S(bk, b–zt) в оставшихся уравнениях движения. Новые уравнения движения потом записываются в прежнем виде, но с модифицированными параметрами, которые рассматриваются как элементы огромного количества m?.
Неизменные h и z определяются последующим образом. Мы продолжаем процесс до того времени, пока не найдем огромное количество m, которое инвариантно относительно RG преобразования. Разумеется, что это стационарная точка преобразования, которая определяется из решения уравнения
Неизменные h и z выбираются таким макаром, чтоб это уравнение имело решение.
Ма и Мазенко основывались на внедрении теории возмущений в предположении, что все характеристики огромного количества m малы, но мы вернемся сейчас к теории турбулентности и, а именно, к уравнениям Навье–Стокса.
При увеличении числа Рейнольдса макроскопическое движение воды испытывает два «фазовых перехода». Во-1-х, происходит переход к турбулентности, а во-2-х, при огромных числах Рейнольдса, – переход к автомодельному поведению турбулентности. В последнем случае это значит установление промежной области волновых чисел, в какой энергетический диапазон воспринимает вид степенного закона. И это как раз тот последний переход, который мы разглядим.
Комфортным методом установления автомодельного поведения является рассмотрение варианта, в каком число Рейнольдса (вычисленное, к примеру, по турбулентному микромасштабу) довольно велико, так что в довольно широкой области волновых чисел существует степенной диапазон. Сейчас определим локальное число Рейнольдса, используя оборотную величину волнового числа в качестве масштаба длины. Тогда, двигаясь по волновым числам в сторону уменьшения, мы практически увеличиваем число Рейнольдса до того места, где начинается степенной диапазон (т. е. граница меж инерциальной и вязкой областями). Потому, по существу, простейшее применение RG к турбулентности содержит последовательное исключение коротковолновых мод с переходом к стационарной точке, соответственной перенормированной вязкости в инерционном интервале.
Соленоидальное уравнение Навье–Стокса для несжимаемой воды (182) сейчас запишется в виде
(236)
где мы обозначили кинематическую вязкость воды через n0, чтоб выделить неперенормированный статус этой величины в рамках трудности турбулентности.
Для того чтоб попробовать выполнить метод RG, рассмотренный ранее, представим, что Фурье-компоненты определены на интервале 0 ? k ? k0, где k0 – наибольшее волновое число, равное колмогоровскому диссипативному масштабу (147). Тогда для k1, k1 < k0, выделим скорость при k = k1. Это можно выразить при помощи ступенчатой функции
, (237)
, (238)
позволяющей найти последующие полезные формулы:
Подстановка этих формул в уравнение (237) позволяет разложить уравнения Навье–Стокса на длинноволновые и коротковолновые части:
(239)
(240)
Если мы попытаемся выполнить 1-ый из 3-х шагов, обрисованных для решеточно-спинового гамильтониана, то сможем приспособить эту функцию к истинному случаю последующим образом:
1. 1. Решаем уравнение (240) для u+.
2. 2. Подставляем это решение в уравнение (239) для u и делаем частичное усреднение по u+.
3. 3. Члены, получающиеся в итоге этой процедуры, которые линейны по u, можно интерпретировать как вклад в турбулентную вязкость.
Основная неувязка, которая появляется из-за межмодового взаимодействия, просто понятна.
· · Во-1-х, решение уравнения (240) для u+ содержит члены с u. Когда они подставляются в правую часть уравнения (239), в итоге получаются члены третьего порядка нелинейности по u, которые могут приводить к возникновению нелинейности более высочайшего порядка в поочередных итерациях.
· · Во-2-х, усреднение коротковолновых мод просит выполнения соотношения
которое не может быть строго настоящим, так как u и u+ являются частями 1-го и такого же поля скорости и не являются статистически независящими.
Следует выделить, что эти две трудности обязательно возникают при попытке приспособить эту функцию к истинному случаю (при применении RG к уравнению Навье–Стокса). Пути решения данных заморочек отличают одну RG теорию турбулентности от другой. Мы тут разглядим два вероятных подхода. 1-ый значительно уклоняется от решения обозначенных выше заморочек за счет рассмотрения достаточно искусственной модели воды. Этот путь изложен в работах FNS [Форстер, Нелсон и Стефен, 1976, 1977]. 2-ой всходит к работе Роуза (1977) (хотя и относится к рассмотрению линейной задачки о конвекции пассивного скаляра) и имеет дело с исключением конечных блоков мод в реальной турбулентности при огромных числах Рейнольдса.
Подход FNS развился под воздействием динамической теории критичных явлений, в итоге чего его можно рассматривать как метод переформулирования трудности турбулентности так, чтоб она приняла форму модели Изинга. Они разглядели модель турбулентности в ограниченной области 0 ? k ? L, где L было выбрано довольно малым, чтоб исключить воздействие каскадного переноса энергии. Определение их класса моделей было закончено выбором степенного закона для дисперсии наружной силы W(k) в согласовании с (138):
(241)
для k ? L.
Выбор величины y равносилен выбору модели, и y = 2 дает модель А FNS, подобающую термическому равновесию, тогда как y = 0 дает их модель В, которая соответствует макроскопическому смешиванию воды. Мы ограничимся моделью В.
FNS обходит две значительные трудности, рассмотренные выше, за счет рассмотрения облегченных систем. Они использовали измененную форму l-разложения, заменив l на l0, которая потом рассматривается как перенормируемая. Соответственное поле нулевого порядка просто связано с взбалтывающей силой линейным пропагатором (либо функцией Грина). Выбирая взбалтывающую силу статистически независящей для различных волновых чисел, получаем, что неувязка усреднения становится очевидной, потому можно усреднить по u+ независимо от u. Практически это является значительно огромным упрощением, чем модель Изинга в случае магнетика.
Таким макаром, делается перенормировка вязкости, взбалтывающей силы и интенсивности взаимодействия. Значимой чертой этого анализа будет то, что тройная нелинейность в u становится несущественной в процессе итераций до самой стационарной точки. Таким макаром, соответствующей чертой способа является определенный вид инвариантности уравнений Навье Стокса по отношению к перенормировке, потому что в итоге деяния перенормировки достигается стационарная точка. Существует много ограничений, сопутствующих этому результату, но самое существенное в их то, что итог подходящ асимптотически при k ® 0.
Принципиально отметить, что FNS теория не имеет ничего общего с турбулентностью и не может быть использована к ней. В этой теории L должна быть выбрана довольно малой, чтоб исключить каскадные эффекты в инерционной области, потому при применении к реальной воды нужны L на порядок наименьшие, чем колмогоровское диссипативное волновое число для данного течения. Как указывается в FNS теории, каскадный процесс недоступен для нее, потому что при огромных волновых числах процедура этой теории начинает выдавать непропорционально огромные величины параметра взаимодействия.
FNS теория взбалтываемой воды завлекла огромное внимание. А именно, де Доминикис и Мартин (1979) повторили приобретенные в ней результаты, используя теоретико-полевые способы. Они указали также, что если избрать y = 3 в FNS выражении для дисперсии (т. е. в соотношении (241)), то предсказываемый энергетический диапазон приобретает колмогоровский вид. Но неувязка в этом подходе заключается в том, что в стационарном режиме выбор дисперсии силы должен приводить к виду W(k), который сохраняет скорость диссипации e. Как отмечено в работе МакКомба (1990), их выбор W0 = e для того, чтоб найти скорость диссипации, совместно с соотношением (241) значит, что диапазон силы (и, как следует, диапазон энергии) должен быть ограничен волновыми числами kmin и kmax, где kmax/kmin = 1,083.
Яхот и Орзаг (1986, дальше YO) представили, что схожий подход может быть применен в практических расчетах. Их предложение было заявлено как принцип соответствия в том смысле, что численные результаты, приобретенные из FNS теории, должны быть такими же, что и для соответственного реального турбулентного течения. К примеру, они получили для колмогоровского спектрального закона величину a = 1,62. В отличие от де Доминикиса и Мартина (1979) они проявили, что соотношение меж взбалтывающей силой и скоростью диссипации могут быть получены из перенормированной теории возмущений, и получили итог, эквивалентный y = 3 и W0 = 11,12 e.
Позднее они использовали функцию для вывода результатов RPT [Данневик, Яхот, Орзаг, 1987]. Но даже с этим личным соотношением меж скоростью накачки и скоростью диссипациии волновые числа, ограничивающие область деяния взбалтывающей силы (и, как следует, поле скорости), должны находиться в отношении kmax/kmin = 1,007.
Теория Яхота и Орзага была применена для получения одной из версий k e модели, которая отлично известна в практических приложениях. Это завлекло огромное внимание исследователей в мире исходя из убеждений вычислительной гидродинамики, но в реальности эта теория переносит нас из области базовых исследовательских работ в область феноменологии с константами, подгоняемыми таким макаром, чтоб уравнения были применимы для получения пророчеств, совпадающих с экспериментальными плодами. В согласовании с этим мы снова выходим за рамки рассмотрения, но до этого заметим, что вся YO процедура не так давно была предана острой критике [Эйнк, 1994].
Более свежайший подход Лэма (1992) существенно более ясно указал, что подгоночные константы содержатся в процедуре моделирования. Начиная с уравнения Навье Стокса, Лэм сосредоточился на дополнительном члене (обозначенном как gfast), который появляется в уравнении движения для разрешенных мод как следствие процесса исключения мод. Используя результаты FNS теории в качестве оправдания этого шага, Лэм выразил длинноволновую часть gfast через постоянную вихревую вязкость. Ошибка, возникающая при всем этом, моделировалась корреляционной функцией с пиком в округи k = L. Таким методом Лэм избежал трудности нелинейности третьего порядка.
В подходе Лэма уравнение (241) может быть записано как
(242)
где (для места размерности 3) изготовлена подмена y = e 1. Выбор таковой зависимости W от L позволяет вернуть колмогоровский диапазон без ограничения на величину e, полагаемую ранее равной 4 для всех k. Как следует, по Лэму e применима для подгоночной неизменной.
В конце концов неувязка связи меж скоростью диссипации и рассматриваемым физическим полем течения была решена введением ad hoc выражения для скорости диссипации:
(243)
где nT – не зависящая от k вихревая вязкость. Практически это предложение эквивалентно уравнению (248), которое получено из уравнений Навье Стокса для более общего варианта [МакКомб, 1986].
Одна из увлекательных черт этой работы заключается в том, что Лэм просит интерпретировать YO как модель турбулентности и дать оправдание ее принципа соответствия. Для исследователей, работающих в рамках CFD, представляет энтузиазм обоснование этого принципа.
Роуз (1977) разглядел подсеточное моделирование турбулентной конвекции пассивной скалярной примеси (к примеру, f). Этот способ содержал итеративную функцию, в какой моделировались поначалу вихри из диссипативной области, а потом вихри малость большего размера и т. д. Это был реальный рекурсивный способ исключения, содержащий полосу волновых чисел конечного размера в инерциальной и диссипативной областях k-пространства. Усреднение по модам в полосе k1 ? k ? k0 предшествовало таковой же процедуре для k2 ? k ? k1. В общем случае n-е волновое число определялось соотношением
(244)
для случайного h.
Роуз сделал два догадки, каждое из которых представляется очень обоснованным. Он считал u+ малой по сопоставлению с u, не считая того, он считал, что u+ стремительно осциллирует (меняется) в масштабе времени величины u. После чего конкретное применение способа итеративных возмущений приводит к стационарной точке, соответственной перенормированной (подсеточной) скалярной диффузии.
Но когда мы рассматриваем, как теория Роуза решает сложные трудности модовой связи, мы обнаруживаем, что 1-ое из этих догадок не справедливо в той форме, в какой мы его рассматривали. Это является следствием того, что Роуз изучал очевидно линейную задачку скалярной конвекции, в какой тройная нелинейность по u не появляется. Заместо этого он столкнулся с аналогичным членом
Разные способы, именуемые способом итеративного усреднения, всходят к работе МакКомба (1982), где было введено рейнольдсовское среднее, согласно которому уравнение движение поначалу подвергается процедуре поочередного условного усреднения, а потом вычитается из неусредненного уравнения. В итоге было получено уравнение для коротковолновых мод, которое не содержало членов, нелинейных по длинноволновым модам, по этому неувязка тройной нелинейности не появлялась [МакКомб, Шанмугасундарам, 1983].
Кроме этого теория употребляет те же догадки для поля скорости, что и у Роуза (1977) для скалярного варианта, потому рекурсивные соотношения приводят к стационарной точке, в какой перенормированная вязкость не находится в зависимости от произвольно избранной молекулярной вязкости n0. Кратко сформулируем окончательный итог.
Если nn(k?) перенормированная вязкость после исключения -й оболочки волновых чисел, то введем автомодельный вид
, (245)
где a неизменная Колмогорова, e скорость диссипации и kn волновое число обрезания после исключения n-й оболочки.
Потом при помощи масштабного множителя h в согласовании с соотношением (245) рекурсивное соотношение для записывается как
(246)
где приращение к вязкости имеет вид
(247)
Потом выписывается перенормированное диссипативное соотношение [МакКомб, 1986] в форме
. (248)
Это позволяет вычислить постоянную Колмогорова. Не глядя на то, что величина этой неизменной была в неплохом согласии с тестом, была показана ее нефизическая зависимость от скалярного параметра h (как в результатах Роуза). Эта зависимость была объяснена неверной связью меж условным средним и обыденным средним по ансамблю.
В ряде статей [МакКомб иУатт, 1990, 1992; МакКомб, Робертс и Уатт, 1992] была изготовлена попытка сделать лучше итеративный способ усреднения и поставить его на жесткое основание. Это потребовало развития отлично разработанного формализма, в каком условное усреднение определено по смещенному подансамблю при обыкновенном среднем по ансамблю, определенном по всему презентабельному ансамблю. Условное среднее по u+ (в каком u считается неизменной) впоследсвии связывается с бесспорным усреднением по всему ансамблю при помощи разложения
(249)
где V+ не находится в зависимости от u, и, как следует, может быть усреднено непременно, в то время как D+ отражает воздействие взаимодействия мод на условное среднее.
Этот формализм является очень общим и может применяться для рассмотрения заморочек с межмодовым взаимодействием, но его применение для неких личных физических систем нуждается в предположении о связи меж V+ и u+, таком, что D+ можно считать малой. Для варианта турбулентности вера в то, что энергетический каскад является локальным в пространстве волновых чисел, подразумевает, что соответственное соотношение можно получить, беря V+ определенном средством разложения первого порядка u+ в ряд Тейлора в округи k = k0 для первой полосы волновых чисел, подлежащей исключению, а потом обобщая эту функцию на следующие полосы.
Как и ранее, возьмем автомодельную эффективную вязкость для n-й исключаемой полосы в согласовании с (246), но сейчас рекурсивное соотношение для автомодельной вязкости воспринимает вид
, (250)
Это изменяет рекурсивное соотношение (сравните с (246) в ранешних вариантах теории) в направлении исправления ошибки. Но новый метод проведения условного усреднения приводит к новым приращениям в обрисованных выше уравнениях для рекурсивных соотношений, так что
(251)
для полосы волновых чисел
,
где l? = |k? j?| и Q? определено соотношением
, (252)
где h параметр, определяющий ширину полосы и связанный с масштабным множителем h формулой h = 1 h.
Вычисления, выполненные при помощи описанной процедуры, дают спектральную постоянную Колмогорова a = 1,60 ± 0,01 независимо от ширины полосы в области 0,25 ? h ? 0,45. Этот способ был использован к описанию конвекции пассивного скаляра [Уатт, 1991], где была получена перенормированная скалярная диффузия. В этих вычислениях была получена спектральная константа Обухова Коррзина b = 1,02 ± 0,01 для полосы 0,17 ? h ? 0,33. Надлежащие числа Прандтля приравнивались 0,6 0,7.
Числа, которые возникают в этих вычислениях, являются неплохими, и количественное поведение таковой RG теории, вообщем говоря, удовлетворительно. Эти улучшения
рассмотренной итеративной теории усреднения можно приписать тому факту, что процедура исключения мод является оптимальным приближением к уравнению Навье Стокса в том смысле, что все члены, которыми пренебрегли, имеют
порядок h2 либо более высочайший, где h безразмерный параметр, определяющий ширину полосы. Это показано на рис. 11, где представлено изменение неизменной Колмогорова зависимо от h для старенькой теории итеративного усреднения и для двухполевой теории.
Рис.11. Сопоставление неизменной Колмогорова , вычисленной
при помощи теории итеративного усреднения, с новыми
вычислениями, использующими двухполевую теорию,
в виде функции ширины полосы h
Невзирая на препятствия, возникающие в процессе приложения пертурбативной RG к уравнениям Навье Стокса, которые отмечались в работе МакКомба и Шанмугасундарама (1983), Жу и др. (1988) представили, что способ Роуза (1977) может быть использован к полю скорости. Они проявили, что член с тройным моментом является значимым при рассмотрении сильных взаимодействий в округи границы меж исключаемыми и оставляемыми волновыми числами.
Их выражение для автомодельной вязкости отличается от всего, что было получено в какой-нибудь версии итеративного усреднения, и имеет вид
, (253)
хотя их форма рекурсивного соотношения совпадает с (246) (но отличается от (250)). Выражение для приращения вязкости задается в данном случае формулой
(254)
где волновые числа ограничены соотношениями
Это выражение для приращения значительно отличается от всего того, что подверглось рассмотрению в прошлых пт. Но оно очень похоже на выражение Роуза (1977) для скалярного варианта. А именно, 2-ой член, который не имеет аналога в какой-нибудь форме итеративного усреднения, появляется из переразложения тройной нелинейности в каждом цикле итераций. Стоимость за это некая форма инвариантности, которую нужно наложить на функцию обрывания l-разложения для u в каждом цикле.
Особенный энтузиазм в этой работе представляет исследование воздействия тройной нелинейности на перенос энергии. Перенос энергии и спектральная вихревая вязкость были проанализированы при помощи прямого численного моделирования, в каком вводилось искусственно обрезание на волновых числах kc, наименьших наибольших разрешенных в численном анализе волновых чисел km. Таким методом было может быть оценить воздействие мод в полосе kc < k < km на разрешенные масштабы, у каких k < kc. Уравнение энергии было сформировано из уравнений Навье Стокса обыденным образом. Потом, введя T><(k) и T>>(k) для представления передачи энергии к моде k, возникающей за счет взаимодействия с одной либо обеими модами выше параметра обрезания kc соответственно Жу и Вахала (1993), получили последующее:
1. T>>(k) отводит энергию из всех очевидных масштабов методом, который согласуется с мыслью вихревой вязкости.
2. T><(k) управляет локальным потоком энергии через границу kc.
Надлежащие (по энергии) вихревые вязкости n><(k) и n>>(k) могут быть определены по T><(k) и T>>(k) для данного диапазона энергии E(k). Это делается при помощи соотношений
При всем этом было получено, что квадратичный вклад n>>(k) (невзирая на его различное определение) ведет себя как соответственная вихревая вязкость из итеративного усреднения. Напротив, отменно более принципиальная черта величины n><(k) заключена в очень резком ее увеличении при k ® kc.
Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов