Современные способы исследования турбулентности
Современные способы исследования турбулентности
1. Введение
Турбулентное движение воды является очень симпатичной неувязкой для исследователей. Турбулентное движение можно следить очень нередко в ежедневной жизни, а, не считая того, для описания этого движения на теоретическом уровне мы должны обратиться за помощью к квантовой теории поля. Последнее событие делает турбулентность предметом внимания все большего числа физиков-теоретиков.
Совсем ясно, что турбулентность представляет делему теории поля, которая в силу собственной нелинейности приводит к начальным понятиям детерминистического хаоса. Но, если мы преобразуем поле скорости по Фурье в место волновых чисел, начальная неувязка преобразуется в делему многих степеней свободы с сильной связью, превращаясь практически в делему многих тел. Этот подход к исследованию, выражаясь математически, переводит делему в ту же область, к которой принадлежат и критичные явления, и статистическая теория поля. Вправду, пионеры современной теории турбулентности в собственных работах руководствовались сходством с квантовой теорией поля с «константой» связи, которая может изменяться от нуля до бесконечности. С их точки зрения вербование турбулентности присваивало этим дилеммам строгую и, разумеется, ординарную формулировку. Это как раз тот нюанс турбулентности, который будет заинтересовывать нас в данном изложении, и дальше будет видно, что эта простота окажется призрачной.
Но нужно увидеть, что отмеченное событие не является единственным, привлекающим внимание к исследованию турбулентности. Большая практическая значимость явления в промышленных разработках, в аэрокосмических приложениях и в описании окружающих нас потоков уверяет нас, что турбулентность является объектом широких феноменологических исследовательских работ, проводимых теми, кто не желает ожидать, когда базовая наука даст ответы на многие поставленные вопросы. Практически этот вид исследования является доминирующим в исследовании турбулентности, потому лучше, чтоб теоретики были ознакомлены о достижениях в этой области. По этой причине мы затрагиваем базы феноменологии в пт 2 вместе с рассмотрением неких мыслях, перед тем как познакомиться с полуэмпирическими теориями, применяемыми в приложениях. Следует выделить, что это только маленький экскурс в литературу, посвященную турбулентности. Потому поначалу мы закончим этот пункт дискуссией о разных подготовительных соображениях.
В реальности жидкость либо газ, рассматриваемые в качестве сплошной среды, являются еще более сложными исходя из убеждений физики объектами, чем это будет определено ниже. Для того чтоб изучить как можно более обыкновенные задачки, ограничим наше внимание средами с линейным соотношением меж напряжением и скоростью деформации. Такие среды именуются «ньютоновскими». При всем этом мы исключаем достойные внимания среды, подобные слоистым, мелкодисперсным либо пластическим. Последние остаются жесткими до некого критичного напряжения сдвига и начинают течь, когда напряжение превосходит это значение. Не считая того, мы не будем рассматривать интереснейшую делему уменьшения сопротивления при помощи введения полимерных добавок [МакКомб, 1990].
Ограничимся также рассмотрением несжимаемой воды, т. е. плотность воды всегда остается неизменной. Это значит, что мы исключаем некие явления, связанные с понятием скорости звука.
Можно мыслить, что, вводя эти два ограничения, мы исключаем очень почти все. Но по сути мы оставляем неограниченное количество водянистых ньютоновских сред, имеющих огромное техническое значение, наподобие воды, алкоголя, глицерина либо нефти, также многих газов, при условии, что скорость движения частиц в этих средах не превосходит одной трети скорости распространения звука в их. В пт 2 будут приведены главные уравнения, которым подчиняется движение этого широкого класса сред. Тут же мы разглядим соотношения, связывающие водянистый континуум и микроскопичную структуру сред.
Разглядим газ, скорость частиц которого равна x. Тогда, если газ находится в покое (макроскопическое условие), среднее от всех составляющих молекулярных скоростей должно быть равно нулю, т. е.
где осреднение делается по скоростям всех молекул. Но если газ подвергнуть действию макроскопических градиентов импульса, плотности и температуры, то это приведет к возникновению макроскопических потоков массы и тепла. Сейчас, если мы опять выполним усреднение по некому объему, содержащему достаточное количество молекул, но совместно с тем и довольно маленькое, чтоб можно было пренебречь конфигурацией макроскопических величин снутри него, то получим поле скорости континуума в виде
.
Сейчас мы желаем получить уравнения переноса для описания этих макроскопических процессов. Для импульса – это уравнения Навье–Стокса, которые будут приведены в пт 2. Но если б вы захотели вывести их из микроскопичных рассмотрений, то нашли бы, что схожая трактовка строга и универсальна для тех параметров, которые являются основными для континуума. А характеристики, которые зависят от природы личных сред (т. е. вида напряжений), будут возвращать нас к дилемме многих тел молекулярного взаимодействия. На практике мы можем избежать столкновения с этими неуввязками, если будем оперировать понятиями механики континуума, ограничивая свое внимание (что и делается по сути) линейными ньютоновскими жидкостями. Все же менторски посмотреть на то, что при всем этом остается, по последней мере, в принципе.
При выводе макроскопических параметров при помощи статистической механики нам требуется одночастичная функция рассредотачивания f1, которая определяет возможность того, что частичка имеет определенные координаты в фазовом пространстве в некий момент времени. Если мы выведем строгие уравнения для эволюции во времени для f1, то найдем, что она находится в зависимости от новейшей функции f2, которая определяет возможность того, что частичка 1 имеет определенные координаты в фазовом пространстве при условии, что частичка 2 имеет некие определенные координаты. Разумеется, что f2 – это условная возможность, и если две частички статистически независимы, то мы получаем обычный итог:
Но в реальных ситуациях частички не являются независящими. Они ведут взаимодействие, потому что в неприятном случае они не смогли бы образовать макроскопических потоков, в каких бы доминировал процесс рвения к равновесию. В согласовании с этим нам необходимо получить уравнение для двухчастичной функции рассредотачивания, но это приводит к тому, что в уравнении возникает трехчастичная функция рассредотачивания. И т.д.. Мы получаем незамкнутую статистическую иерархию, в какой всегда на одно неведомое больше, чем уравнений. Это популярная BBGKY-иерархия [Балеску, 1975; Райхль, 1980] и ее замыкание – суровая нерешенная неувязка микроскопичной статистической физики. Переходя к макроскопической статистической физике, мы лицезреем, что в самом центре ее существует неувязка, в точности подобная рассмотренной, потому основная тема будет связана с способами замыкания цепочки уравнений в теории турбулентности и аналогией меж теорией турбулентности и микроскопичной статистической теорией. (Отметим, что некие исследователи именуют эту аналогию мезоскопической физикой, но тут этот термин не употребляется).
Следует, но, осознать ограничения, сопутствующие таковой аналогии. В микроскопичной теории переноса, соответственной умеренным условиям, макроскопические процессы генерируют наружные масштабы, которые значительно больше микроскопичных. Так можно представить локальное равновесие, имеющееся в объеме довольно большенном, чтоб подансамбль был презентабельным, т. е. позволял использовать результаты, приобретенные при условии термического равновесия. В турбулентности это не так. Так как в турбулентности «транспортные процессы» – это не то же самое, что «молекулярные процессы», турбулентное рассредотачивание не является обычным. Потому нет аналогов ни константе Больцмана, ни рассредотачиванию Больцмана.
Некое проникновение в предмет может быть получено, если мы разглядим методы измерений. Разглядим течение воды повдоль длинноватой прямой трубы в качестве примера. При всем этом основной гидродинамический подход состоит в измерении перепада давления повдоль трубы при помощи отверстия в стене трубы и манометра, также измерения количества воды, протекающей через сечение трубы в единицу времени. Если поделить последнюю величину на площадь поперечного сечения трубы, то получим среднемассовую скорость U, которая является нашей первой статистической величиной. С повышением наружной силы, т. е. перепада давления, скорость течения также возрастет. В конце концов, отклонение от линейной связи меж этими 2-мя величинами даст знать о пришествии турбулентности.
То, что это протекает конкретно так, в первый раз показал Осборн Рейнольдс (1883, 1895), воспользовавшись подкрашенной струйкой тока, – сейчас мы называем это способом визуализации течения. Эта демонстрация приоткрыла одну из загадок, но количественная сторона дела была отложена до конца 1930-х годов, потому что добивалась развития анемометрии, т. е. методов измерения скорости. Вначале эти способы были основаны на идее введения нагретой проволочки в поток. Конфигурации локальной скорости потока приводили к изменению температуры проволочки и тем к изменению ее сопротивления, которое измерялось мостом. Проволочные анемометры все еще обширно употребляются в текущее время в купе с лазерными анемометрами, действие которых основано на рассеянии лазерного света.
Если расположить анемометр в какой-нибудь точке снутри трубы, то можно измерить локальную скорость воды в этой точке как функцию времени. В принципе можно получить все поле скорости U(t, x). При всем этом следует подразумевать, что анемометр должен быть значительно меньше, чем допустимый размер области течения, соответственный размеру меньшего вихревого движения. Но анемометр с неизбежностью будет больше молекулярных масштабов, потому все измерения, проведенные этим прибором, соответствуют континуальному лимиту. В согласовании с этим, когда мы указываем точку воды, мы имеем в виду нечто, что сразу меньше соответствующих масштабов течения и больше молекулярных масштабов.
Поле скорости U(t, x), измеренное таким макаром, понятно в динамике воды как эйлеровское. Эйлеровская координатная система соответствует лабораторной. Можно также перейти в систему отсчета, связанную с водянистой частичкой, если мы изучаем движение этой водянистой частички. Так, если мы пометим жидкость в точке x в некий момент времени t0, то, следя за ней в течение времени t, мы можем ввести лагранжевы координаты X(t), такие, что X(t0) = x, а лагранжева скорость равна V(t) = dX / dt. Эта координатная система очень комфортна для обсуждения турбулентной диффузии, но не очень комфортна для общего изложения. С одной стороны, не существует решения задачки перехода к эйлеровской системе координат, с другой стороны, очень тяжело проводить опыт в лагранжевых координатах. Все же мысль лагранжевых координат внезапно появится опять несколько позднее.
Исследование хаотического поведения динамических систем с несколькими степенями свободы вызвала большой энтузиазм в связи с мыслью хаоса. Большая часть физиков, во всяком случае, знакомы с мыслью итераций простого отображения, приводящего к необычным образам, которые чувствительны к исходным данным и к величинам управляющих характеристик. Не считая того, отлично понятно, что турбулентность можно рассматривать как обычный пример детерминистического хаоса, и это нередко приводит к неверному осознанию в отношении переноса теории хаоса малой размерности на турбулентность. Потому мы создадим тут несколько усмотрительных замечаний по этому поводу.
Во-1-х, мысль хаоса не является новейшей. Больцман сделал предположение о молекулярном хаосе либо Stossahlanzatz для того, чтоб замкнуть систему уравнений, которая позже стала называться иерархией BBGKY. Даже в современном осознании теории хаоса ряд главных мыслях издавна знаком исследователям турбулентности.
Представим, что мы рассматриваем эйлеровское поле скорости U(t, x). Тогда это стопроцентно детерминированная величина, определяемая уравнениями Навье–Стокса для хоть какого момента времени при данных исходных критериях. Как согласовать это утверждение с фактом возникновения турбулентности? Рейнольдс отыскал, что безразмерное соотношение
(1)
дает аспект перехода от ламинарного течения к турбулентному. Тут d и U – соответствующие длина и скорость, в этом случае – поперечник трубы и среднемассовая скорость, а n – кинематическая вязкость воды. Так как поперечник трубы и вязкость фиксированы, воздействие числа Рейнольдса R можно интерпретировать как воздействие безразмерной скорости. Когда безразмерная скорость превзойдет некое критичное значение, может появиться турбулентность.
Таким макаром, на языке современной теории хаоса число Рейнольдса – это управляющий параметр. Когда оно превосходит некое критичное значение, решение уравнений Навье–Стокса становится чувствительным к исходным условиям и, как следует, хаотическим в том смысле, что неважно какая малая неопределенность в исходных критериях будет усиливаться, приводя к непредсказуемости поля скорости. Так, отдельная реализация турбулентного поля будет очень очень отличаться от хоть какой другой на уровне очень подробного описания, что стопроцентно согласуется с современной теорией хаоса. Но нужно также подразумевать, что хоть какое турбулентное течение можно рассматривать как ансамбль огромного количества реализаций (предполагая эргодичность, которая является слабеньким предположением, последующим из перемешивающего нрава турбулентности). Так, среднее поведение, приобретенное по огромному количеству реализаций, нечувствительно к нескончаемо малым возмущениям исходных критерий, т. е. данный градиент давления приводит всегда к одной среднемассовой скорости в трубе. Таким макаром, детерминизм восстанавливается для средних величин, характеризующих систему.
В конце концов, до того как перейти к дискуссии других вопросов, любопытно отметить, что признаки лежащего в базе этих явлений хаоса можно найти в почти всех сдвиговых турбулентных течениях. К примеру, в течении в трубе переход к турбулентности не является раз и навечно произошедшим чертовским событием, он более похож на квазипериодический процесс, узнаваемый под заглавием «берстинга». Он может наблюдаться при помощи визуализации течения либо при помощи осреднения по маленьким отрезкам времени, содержащим схожие нестационарные действия. Этот тип когерентных структур (если использовать общий термин) более присущ свободным сдвиговым течениям, где открытие катящихся вихрей в турбулентном слое смешения [Браун, Рошко, 1974] стимулировало резвый рост исследовательских работ в этой области.
Понятие перенормировки играет главную роль в современной теории турбулентности, и полезно сделать некие общие замечания, относящиеся к рассматриваемому вопросу, с этой точки зрения. Кратко говоря, этот термин пришел из квантовой физики и относится к процедуре исключения расходимостей, которые возникают тогда, когда делается попытка распространить дискретные формулировки динамики частиц на случай непрерывного поля. Эти расходимости возникают как на огромных масштабах, так и на малых, и известны соответственно как «инфракрасные» и «ультрафиолетовые».
Следует выделить, что расходимости этого рода не присущи теории турбулентности. Некая неурядица по этому поводу может появиться благодаря существованию инфракрасной расходимости при переходе к лимиту нескончаемых чисел Рейнольдса и является стопроцентно искусственной ситуацией, рассмотренной с целью проверки личных теорий. Существование расходимостей – это крах теории, т. е. факт, который не нуждается в формулировке.
Смысл, который мы будем придавать термину «перенормировка», отлично установлен ранее в статистической физике и физике взаимодействия многих тел. В общем случае он связан с представлением о квазичастицах, в каком взаимодействующие («голые») частички заменяются на «одетые», которые уже не ведут взаимодействие. «Одетые» частички перенормированы при помощи передачи им части энергии взаимодействия. Ранешние периодические вычисления этого рода были проделаны Дебаем и Хюккелем в 1920-м году, которые изучили электрический газ в электролите и учли электрон-электронное взаимодействие при помощи подмены заряда отдельного электрона на зависящий от пространственных координат действенный заряд. Подстановка действенного заряда в закон Кулона привела к возникновению экранирующего потенциала, в каком коллективное действие облака электронов можно было интерпретировать как экранирующий эффект. В наши деньки схожая операция должна рассматриваться как перенормировка, а Дебай–Хюккелевская теория – как особый случай перенормируемой теории возмущений.
В турбулентности подобная ситуация появляется с перенормировкой вязкости воды за счет прибавления случайного воздействия макроскопического вихревого движения для сотворения действенной либо турбулентной вязкости. Практически эта мысль была предложена Буссинеском ad hoc в 1890-х годах – 1-ый пример ренормализованной величины! В этом смысле и будет дальше употребляться термин «перенормировка», хотя периодически это будет быстрее неявно, чем очевидно.
Когда турбулентность рассматривается в контексте физики в целом и в контексте фазового перехода а именно, то естественно представить, что популярная неувязка турбулентности заключается в том, чтоб предсказать критичное значение числа Рейнольдса фазового перехода от ламинарного течения к турбулентному. Это вправду неувязка главной значимости, и она продолжает завлекать огромное внимание. Но это не относится к содержанию этой книжки.
Разглядим турбулентность в воды как явление природы, требующее статистического описания. В согласовании с этим, как и в микроскопичной статистической физике, мы столкнемся с неувязкой замыкания статистической иерархии. В пт 2 эта неувязка будет рассмотрена в том виде, как она возникает у гидродинамиков, которые соприкасаются с исследованием течений в трубах, струях и даже в таких сложных ситуациях, как обмен тепла и турбины. Это значит, в сути, что статистические характеристики таких течений осложнены зависимостью от координат (неоднородность) и от ориентации в пространстве (анизотропия). В пт 3 мы разглядим вопрос о том, как можно переформулировать делему турбулентности, чтоб она стала похожа на теорию поля в теоретической физике, т. е. чтоб она была однородной и изотропной. Центральным вопросом в этом пт будет вопрос о том, как можно удовлетворительно сконструировать тестовые задачки для развиваемых тут теорий с искусственной изотропией.
Но, как мы увидим, отлично развитая турбулентность может мыслиться как задачка из области критичных явлений с фазовым переходом к автомодельному поведению, демонстрирующему универсальность и масштабную инвариантность.
В пт 2 и 3 приведена формулировка трудности исходя из убеждений гидродинамиков и физиков-теоретиков соответственно. Оставшиеся пункты посвящены использованию способов перенормировки решения задачки, сформулированной в пт 3, т. е. не рассматривается вопрос практических приложений.
В пт 4 рассматривается неувязка замыкания в теории турбулентности при помощи способов статистической теории поля. Тут общая стратегия заключается в том, чтоб начиная с теории возмущений и используя так называемое l-разложение, ренормализовать это разложение при помощи личных способов суммирования. Варианты теории рассматриваются исходя из убеждений их возможности удовлетворять определенным целям.
В пт 5 рассмотрен новый ренормгрупповой способ, в каком осуществляется действенное сокращение степеней свободы, а управляющие уравнения перенормируются для того, чтоб сделать их независящими от преобразования. Возникновение масштабной инвариантности характеризуется стационарной точкой. Этот пункт в реальности содержит измененную версию статистической трудности замыкания, которая может мыслиться более естественной исходя из убеждений ее компьютерной реализации.
Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов