Бурение грунтовых зондов, установка энергетических колодцев

При решении задач, связанных с изгибом, возникает необходимость оперировать некоторыми геометрическими характеристиками попереч­ных сечений бруса.

Статическими моментами сечения бруса относительно осей х и у называются интегралы вида

Sx~ J ydF, Х= | xdF. (13.22)

(Г) (Г)

При параллельном переносе осей величины статических моментов меняются:

Sx~Sx-hF. Sy=S,-aF (13.23)

If где .я и b—расстояния между соответствующими осями (они могут |.бытв как положительными, так и отрицательными).

Значение bF можно подобрать таким, чтобы оно было равно II Ъг. тогда Sx обратится в нуль. Ось, относительно которой статический [► момент равен нулю, называется центральной. Для этой оси

b=yc=SJF; a=Xc-SriF. (13.24)

Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения. Путем поворота осей можно показать, что статический момент относительно любой оси, приходящей через центр тяжести | равен нулю.

Интегралы вида

[ Л = J y2(IF, Jr= J x2dF, Jxy = J xvcIF *■ (13.25)

if) i/I (/•>.

■ носят названия моментов инерции сечения бруса. Первые два называ­Ются осевыми моментами инерции, третий —центробежным моментом t инерции сечения относительно осей. г и у. Размерность моментов инерщш—м4.

При параллельном переносе осей, если оси. х и г центральные, справедливы формулы

Л.1=Л+^гI’. J^=Jy+ei2F, ./T|V| — Jxy—abF. (13.26)

В семействе параллельных осей минимальный момент инерции — относительно центральной оси. Центробежный момент инерции может быть положительным и отрицательным в зависимости от знаков а и Ь.

Формулы для перехода к осям и и г, повернутых относительно осей х и у на угол а, имеют вид

Л — Л cos2 а — Jxy sin 2а+Jy sin а, J„ = Jx sin2 а+Jxy sin 2a + J, cos2 a.

JUv = Jxy cos 2a+7 (Jx—Jy) sin 2a. (13.27)

£

Из уравнений (13.27) легко получить, что

Ju + Jv = Jx+Jy= J {x1+y1)dF. (13.28)

(/•)

Но интеграл в правой части равенства (13.28) не что иное, как полярный момент инерции, о котором упоминалось выше.

Тогда

Jx+Jy=JP. , (13.29)

С изменением угла поворота осей а. каждая из величин Ju и./, меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такой утол а, при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время, как другой момент инерции принимает минимальное значение.

16 3477 241

Дифференцируя выражение Ju (13.27) по а и приравнивая произ­водную нулю, находим

tg2a = 2 Л,/(Л-Л)- (13-30)

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными, то тогда их называют главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции.

Ниже приведены формулы для определения, моментов инерции некоторых простейших сечений:

1) круг

Jx=Jy=Q,05D4; (13.31)

2) кольцо

Л=Л=0,05^^1-^^; (13.32)

3) полукруг (относительно диаметра)

/X=0,0068D4; , (13.33)

4) прямоугольник (А—высота, Ъ—ширина; х, у—центральные оси)

Jx = bh3/12, Jy = hb3j12; (13.34)

5) треугольник (относительно центральной оси, параллельной основанию; h—высота треугольника, b—длина основания)

Jx = bh>/36. (13.35)

Для разных сортаментов металлов данные о моментах инерции сечений приводятся в различных машиностроительных справочниках.

Комментарии запрещены.