ТЕОРЕМЫ ПОДОБИЯ
Рассмотрим три основные теоремы теории подобия.
Первая теорема подобия устанавливает связь между константами подобия и позволяет определить критерии подобия. i
Общее содержание первой теоремы подобия может быть сведено к следующим основным положениям.
1. Если явления подобны, то константы всех физических величин, определяющих сущность изучаемого процесса, могут быть объединены в соответствии с особенностями этого явления в виде индикатора подобия, который равен единице.
Рассмотрим это положение на примере прямолинейного движения двух материальных точек с массами т и т’ под действием равнодействующих сил F » F, приложенных к этим точкам. На основании второго закона динамики могут быть записаны следующие соотношения:
F-m~, (12.9)
dt dt
где v и v’—скорости точек; t, t’ — время.
Но, как отмечалось,
F/Fr = C, C. ~с_, m/m’ = Ст, v/v’—CtC/~l, t/t’ — C, (12.10)
(последнее равенство действительно при?0 —1’0 — 0).
Из (12Л0) следует, что
F=F’C/C,~2C„„ т=т’С„, dv = dv’CtC/~’, dt — dt’С,. (12.11)
После подстановки (12.11) в первую формулу уравнений (12.9) получим
_ ’ r. rr2d»’
FС, СГ Ст=Стт — . (12.12)
е./Ш
|
Re = |
|
Для второй струи |
|
Разделим равенство (12.12) на второе равенство (12.9) |
|
|
|
или |
|
Г. Г~гГ |
|
а= 1. |
|
* Величина а, связывающая константы подобия называется ин — I дикатором подобия. 2. У подобных явлений критерии подобия равны между собой. ; Поясним это положение примером. В гидродинамическом моделировании используются следующие критерии подобия: Ньютона (Ne), Фруда (Fr), Рейнольдса (Re), Вейбера (We), Ричардсона (R), I’ Архимеда (Аг), гомохронности, Струхала (Sh), Грасгофа (Gr), Маха (Mh), Стокса (St), Кирпичева (Kir), Эйлера (F. u). Первая теорема утверждает, что для подобных явлений, в том числе гидродинамичес — . ких, должно соблюдаться равенство одноименных критериев подобия. Рассмотрим явления движения и распада двух напорных гидромониторных струй1 [28 ]. Первая струя имеет следующие параметры и граничные условия: диаметр насадки d= 0,063 м, давление /> = 2-105 Па; для второй струи =0,025 м, р’~ 12,4-105 Па. Убедимся, что для обеих струй критерий подобия Re одинаков. Для первой струи v = i-s/2gpa, Re — vd/v, где а — коэффициент перевода паскаля в метры водяного столба, равен 10-4 м • Н- р— коэффициент (для воды р = 0,97); v—кинематический коэффициент вязкости v = p/p=10-6 м-с-1; р—плотность жидкости. Подставив числовые значения, получим |
|
0,97 ,/2-9,81 -2-ЮМО-4 0,063 КГ* |
|
, 0,97 ,/2 -9,81 • 12,4 • 105 -10" 4 0,025 Re =————————————————— |
|
Так как одноименные критерии двух рассматриваемых явлений равны, процессы движения и распада гидромониторных струй с указанными исходными параметрами будут подобными. Первая теорема широко используется для моделирования ряда процессов. Например, с помощью индикатора подобия, устанав- |
|
= 1,2 ■ 106, т. е. Re=Re’. |
|
= 1,2 ■ 106. |
|
1 Разрушение горных пород гидромониторными струями используется для бурения скважин сплошным забоем в рыхлых породах. |
ливающего связь между константами подобия для двух подобных физических явлений, можно определить масштабы величин при моделировании, т. ё. рассчитать параметры модели исследуемого явления. Далее, с помощью критерия подобия можно определить неизвестные величины по заданным.
Рассмотрим некоторые другие критерии, используемые, в частности, при моделировании процессов гидромеханизации в бурении и на горных работах. Остановимся на требованиях, предъявляемых к подобным системам при действии различных сил.
Если системы находятся под действием сил тяжести, то масштаб сил в подобных системах можно установить при заданных масштабах массы, скорости и времени из выражения индикатора (12.13):
■CF = CMCvCt-1, (12.14)
где С..—масштаб скорости, Cv=CtCt~1.
Выражение для силы F можно представить в следующем виде:
F=Mg, (12.15)
где М—масса системы.
Заменив в выражении (12.14) константы подобия соответствующими параметрами подобных систем, имеем следующее выражение безразмерною критерия подобия, который получил название критерия Ньютона:
FI FT
Ne= —-—г. (12.16)
Mv2 M'(v) К
Подставив выражение (12.15) в уравнение (12.16) и взяв от полученною результата обратную величину, получим новый вид критерия цодобия—критерий Фруда:
Fr—n2jgl. (12.17)
В подобных системах, на которые действует сила тяжести, критерий Фруда должен быть одинаков.
Рассмотрим теперь случай действия сил внутреннего трения, в жидкостях. Выражение для этих сил имеет вид
dv
= П, (12.18)
ап
где ц—коэффициент вязкости жидкости; П—площадь поперечного сечения сосуда, по которому движется жидкость; и—координата от центра сечения сосуда к периферии (по нормали к направлению скорости).
Введем константы подобия CF, С„, С„, С( и Сп. Известно, что Сп=С2, CF=CtlCvCl (поскольку С, = С„).
Если массу выразить через произведение плотности жидкости на объем, а скорость как частное от деления перемещения на время, то силу в уравнении (12.9) можно представить в следующем виде:
|
F F’ |
|
jlvI p’v’l’ |
F-pI^/t2 (12.20)
или в ином виде
F=p/V. (12.21)
Подставим выражение, (12.21) в (12.19) и получим упомянутый ранее коэффициент подобия Рейнольдса
Re = p/V/pr/-fo/v, (12.22)
где v = р/р.
Таким образом, подобие систем, находящихся под действием сил внутренней вязкости, определяется постоянством безразмерного критерия (числа) Рейнольдса Re.
Наконец, рассмотрим случай действия капиллярных сил. Если капиллярная составляющая силы равна С, то сила поверхностного натяжения будет определяться выражением
F=Cl. (12.23)
С учетом уравнений (12.21) и (12.23), получаем математическое выражение так называемого критерия Бейбера
We=p lv2/C. (12.24)
Итак, первая теорема подобия говорит о том, что у подобных явлений индикаторы подобия равны единице, а критерии подобия равны между собой. При этом имеется в виду, что в рассматриваемых явлениях действуют силы только одной природы (т. е., например, только силы тяжести, только силы вязкого трения и т. д.). Между тем в одном и том же явлении могут действовать силы разной природы. Методику установления критериев для этого случая позволяет осуществить вторая теорема подобия.
Вторая теорема подобия постулирует возможность представить лй)бую зависимость между переменными, характеризующими какие — либо явления, в виде зависимости между критериями.
Во всех случаях, когда движение системы определяется действием нескольких сил различной природы, у подобных явлений существует определенная связь между критериями подобия, которая может быть установлена на основе анализа дифференциальных уравнений, описывав ющих процесс.
15* 227
Наконец, третья теорема подобия устанавливает необходимым и достаточные условия, чтобы процессы исследуемых явлений могли} считаться подобными. Согласно этой теореме, процессы подобнь если условия однозначности подобны и критерии, составленные из] условий однозначности, одинаковы. ,
Условия однозначности определяются значениями переменных на] границах системы и в начальный момент времени (начальный момент движения). В двух подобных явлениях значения переменных в гранич-1 ных сечениях должны быть пропорциональны и определяться константами подобия.
Таким образом, основные условия подобия явлений заключаются в принадлежности явлений к одной и той же системе дифференциальных уравнений, в подобии условий однозначности и равенстве критериев, составленных из величин* входящих в условия однозначности.
На практике очень трудно соблюсти все условия подобия, вытекающие из третьей теоремы. Любая модель всегда будет чем-то отличаться от натуры и не масштабом, разумеется, а начальными и граничными условиями. Экспериментатор всегда отдает себе отчет в том, что в большинстве случаев в процессе исследования того или иного явления, он всегда идет по пути приближенного подобия, воссоздавая на макете (стенде, модели) лишь приблизительную картину изучаемого явления [28]. Тем не менее теория подобия представляет собой мощное средство в руках современного исследователя.