КРИВОШИПНО-ШАТУННЫЙ МЕХАНИЗМ
§ 10. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВОШИПНО-ШАТУННОГО
МЕХАНИЗМА
Кривошипно-шатунный механизм является основным механизмом паровой машины и служит для преобразования возвратно-поступательного* движения поршня во вращательное движение коренного вала машины. Кривошипно-шатунный механизм в виде эксцентрикового механизма служит для передвижения золотника.
исследования, т. е. с определения величин перемещений, скоростей и ускорений поршня машины.
Примем следующие обозначения:
L — длина шатуна в м;
R — длина кривошипа в м;
R
а=— — отношение длины кривошипа к длине шатуна; ср — угол поворота кривошипа в град.;
0 — угол наклона шатуна по отношению к траектории поршня в град.;
№—угловая скорость кривошипа в радиан/сек;
S — перемещения поршня в м с — скорость поршня В м/сек-, j — ускорение поршня в м/сек2.
Определение перемещений поршня произведем по схеме центрального кривошипно-шатунного механизма (фиг. 146), вычерченного в масштабе 1 мм — ps м. Отрезок ОА в этом масштабе изображает кривошип, а отрезок АВ — шатун. В данном положении механизма кривошип повернут на угол ср, а угол наклона шатуна равен 0.
В мертвом положении механизма, когда поршень находится в стороне крышки и ср = 0, кривошип занимает положение ОАм и ша
тун АмВм, в противоположном мертвом положении при <с = 180° соответственно ОА’м и А’МВ’М.
Отрезок ВМВ’М = 2ОА изображает в масштабе ход поршня.
При повороте кривошипа из мертвого положения на угол ср ползун из положения Вм переместится в положение, отмеченное буквой В, и, следовательно, перемещение поршня будет выражаться отрезком ВмВ=хв-
Если через точку А, взяв за центр точку В, провести дугу радиусом,
равным длине шатуна, т. е. отрезка АВ, и заметить точку С пе
ресечения этой дуги с горизонтальной осью, то отрезок АмС будет равен перемещению точки В, т. е.
хв = ВмВ = АмС.
Перпендикуляр, опущенный из точки А на горизонтальную ось, точкой D разделит отрезок АМС на две части так, что
Хв = АмС = AmD -|- Г)С•
Найдем величины отрезков AmD и DC
Отрезок
AmD ~ ОАм — OD,
О А м — О А,
OD — О A cos сь,
AmD = О А — О A cos <в = О А (1 — cos ср).
DC = ВС — BD = АВ — BD.
В прямоугольном треугольнике ABD катет
BD = VAB — — AD*, то
AD = ОА sin ср,
я поэтому
BD = VaB*~OA* sin2» = АВ^~ 1 — — sin2 ср. Учитывая, что
ОА =
АВ L
можно записать, что
BD = АВ у I — к2 sin2 ср.
Так как произведение Xаsin2® невелико по сравнению с единицей, то здесь допустимо применение приближенного извлечения корня, и тогда
BD = АВ (l — ^Jsin2®) ,
гак как
1 Г—а — 1 — j,
если а — малая величина по сравнению с единицей.
Теперь можно найти величину отрезка DC:
DC = АВ — BD = АВ — АВ ^ 1 — ~ sin2 <р ) =
= АВ г sin2 ® = А В — i — sin2® = О А -?г sin2 ®.
Получив величины отрезков AMD и DC, можно получить окончательное выражение для перемещения точки В:
хв= AMD — f DC = CM ( 1 — cos®) — f OA У sin2cp
и окончательно
= О Л —cos®+-^-sin2®^ мм.
Если рассматривать движение поршня от другою мертвого положения при ® = 180°, то при повороте кривошипа на тот же угол ® кривошип займет положение ОА’. Перемещение поршня в этом случае будет выражено отрезком
XB = AMC’=AMD’-D’C’-
После тех же преобразований величина перемещения точки В будет равна
х’в = ОА — cos ® — — sin2 ®^ мм.
Оба выражения для перемещения точки В можно объединить в одно: хв = ОА 1 — cos ® + у sin2 ®^ мм,
знак плюс берется при отсчете перемещений и угла ® от мертвого положения со стороны крышки, а минус — от мертвого положения со стороны вала.
Чтобы перейти от отрезков к действительным величинам, умножим обе стороны уравнения на величину масштаба перемещений м/мм.
Так как 5 = р$хв м и R = p. sCX4, то окончательное выражение для определения перемещений поршня (ползуна) примет вид
— coscp + -|-sin2®^ м. (333)
Эта формула приближенна, и ею можно пользоваться только если отношение X < 0,3, так как погрешность в этом случае будет незначительной. Формула (333) применима к паровым машинам потому, что в них отношение X < 0,25.
При бесконечно длинном шатуне, т. е. при X = 0, перемещение поршня будет выражаться следующим уравнением косинусоиды:
S = R (1 — cos ®) м. (334)
Сравнение уравнений (333) и (334) показывает, что перемещение поршня при конечной длине шатуна отличается от перемещения при L = оо. Разница этих перемещений зависит от величины отношения X и от положения кривошипа. Она равна нулю при » = 0° и » = 180°, а при ф = 90° и ф — 270° имеет максимальное значение, равное
2 = 0,5Х-Л= Щ — м. (335)
Формула (333) применяется для аналитического определения величины перемещения поршня. Однако при решении ряда задач более удобным является графическое определение величины перемещения.
Для графического определения перемещений поршня вовсе не нужно вычерчивать весь кривошипно-шатунный механизм, достаточно только провести окружность радиусом, равным отрезку О А, изображающему кривошип, и все перемещения можно отметить на диаметре, проведенном параллельно траектории поршня.
Как указывалось выше, перемещение поршня (ползуна) в виде отрезка хв — АМС можно получить (фиг. 146), проведя через конец кривошипа (точку А) дугу радиусом А В, до пересечения в точке С с диаметром круга, проведенным параллельно траектории поршня.
Этот способ годится для любого кривошипно-шатунного механизма, как центрального, так и смещенного, но требует циркуля больших размеров для проведения дуг и места для расположения их центров
Для центральных кривошипно-шатунных механизмов имеются более удобные способы определения величин перемещений поршня.
При бесконечно длинном шатуне величина перемещений поршня выражается отрезком AMD (фиг. 146), где точка D является проекцией точки А (ОА — отрезок, изображающий кривошип). Это построение соответствует формуле (334) и пригодно для механизмов с небольшой величиной отношения X (меньше 0,1) и для приближенных подсчетов.
Если в центральном кривошипно-шатунном механизме величина отношения X не превосходит 0,3, то для графического определения величин перемещений поршня можно рекомендовать широко распространенный очень простой метод, предложенный заслуженным профессором Ленинградского политехнического института имени М. И. Калинина и
Военно-морской академии Ф. А. Бриксом еще в конце прошлого столетия 1.
Метод проф. Ф. А. Брикса (фиг. 147) заключается в следующем. Относительно точки О как центра проведем окружность радиусом О А мм, изображающим длину кривошипа R. Через центр окружности, точку О, проводим диаметр, являющийся продолжением траектории поршня, и с левой стороны отмечаем схематически положение цилиндра. От точки О откладываем в сторону, противоположную расположению цилиндра, отрезок ОР, изображающий в выбранном масштабе величину Z, согласно уравнению (335).
Как указывалось выше, величина Z представляет разность между величинами перемещения поршня в механизмах с конечно и бесконечно длинным шатуном при повороте кривошипа от мертвого положения на угол 90°.
Центром вращения кривошипа будет точка Р, а конец кривошипа (точка А) будет скользить от окружности, проведенной относительно точки О как центра радиусом О А.
Точка В, проекция точки А на диаметр, представляющий траекторию поршня (ползуна), характеризует положение поршня по отношению к мертвым положениям.
Например, нужно определить положение поршня и пройденный им путь, если кривошип повернулся на угол да’.
Для этого через центр вращения кривошипа (точку Р) проведем прямую РА’ под углом ср’ к траектории поршня. Из точки А’ пересечения этой прямой с окружностью опускаем перпендикуляр на траекторию поршня. Точка В’ (конец этого перпендикуляра) характеризует положение поршня на своей траектории. Расстояние S’ от мертвого положения поршня до данного в точке В’ представляет величину перемещения поршня при повороте кривошипа на угол ср’.
При повороте кривошипа на угол ср" поршень переместится от того же крайнего положения на величину S", которая определяется по новому положению кривошипа РА".
Графическое построение по методу проф. Ф. А. Брикса обладает точностью, достаточной для так называемых точных вычислений.
Скорость поршня может быть определена различными способами. Большим распространением пользуется аналитическое определение ско-
Морской сборник" № 5, 1893
рости поршня по приближенной формуле, полученной о г диференци — рования уравнения (333):
c = 4T = w[R (l-cos<p±£sin*?y.
В результате диференцирования величина скорости будет выражаться следующим уравнением:
с = (в-R ^sin ф + ~ sin 2® мсек. (336)
Это выражение, как и выражение перемещения по формуле (333), пригодно для подсчетов при X С 0,3.
Ускорение поршня при постоянной угловой скорости кривошипа аналогично предыдущему находится диференцированием выражения скорости, полагая (в = const, т. е.
и окончательно примет вид
/ = ш2 • R (cos ® + X cos 2®) MjceK2. (337)
В формулах (336) и (337) знак плюс относится к движению поршня от мертвого положения со стороны крышки, а минус — к движению поршня со стороны вала.
Формула (337) применяется при тех же условиях, что и формулы (333) и (336).