Бурение грунтовых зондов, установка энергетических колодцев

Расчет продвижения границы раздела фаз издавна интересовал исследователей и практиков. Задачи такого типа рассматривают в двух математических формулировках. Более ранняя известна под названием задачи Стефана, по имени австрийского математика. Ее особенность со­стоит в том, что в исследуемом теле формируется два сопряженных поля. На подвижной границе сопряжения дри строго определенной температуре, называемой температурой фазового перехода, происходит выделение (за­твердевание) или поглощение (плавление) скрытой теплоты. Другими словами, процесс агрегатного перехода (например, льда в воду) локали­зован непосредственно на поверхности раздела фаз. Математически про­цесс теплопередачи на подвижной границе раздела выражается нелиней­ным условием Стефана. Наличие нелинейности относит задачи этого клас­са к числу наиболее сложных задач математической физики.

Впервые задачу такого рода решили в 1831 г. члены Российской Ака­демии наук Г. Ламе и Б. Клапейрон, которых интересовал вопрос об отвер­девании охлаждающегося Земного шара из первоначально расплавлен­ного состояния. В 1865 г. немецкий математик Ф. Нейман решил более сложную задачу с учетом утечек тепла через границу раздела фаз. В 1889 г. И. Стефан опубликовал исследование о закономерностях прод­вижения границы раздела фаз: таяния льда и нейтрализации вещества

при диффузном переносе к зоне реакции, а также некоторые вопросы испа­рения и растворения. В настоящее время известно несколько десятков за­дач, решенных в точной математической формулировке.

Значительно позже [Колесников А. Г., 1952 г.] была предложена дру­гая математическая формулировка аналогичной задачи, которая получила название задачи Колесникова. Отличие от предыдущей состоит в том, что агрегатный переход происходит в спектре температур и теплота агрегат­ного перехода учитывается не в граничном условии, а в основном уравне­нии в форме распределенных по объему внутренних источников тепла.

В разделе 2.1 указано, что для практики бурения основной интерес представляют расчеты протаивания мерзлых песков или супесей. Таяние льда в таких породах происходит при фиксированной температуре 0°С (см. рис. 2.1), что соответствует задаче Стефана. Однако задача о пере­мещении кругового фронта протаивания при постоянной температуре стенки скважины не имеет точного решения. Известны приближенные закономерности, основные из которых рассмотрены в работах [32, 33]. Главные их недостатки состоят в следующем: не учитывают утечки тепла в мерзлую зону через границу агрегатного перехода, сложны по структуре и не могут быть представлены относительно радиуса зоны протаивания, и его фактическое значение необходимо подбирать расчетным путем либо выполнять численное решение и графическое построение. Более поздним расчетным формулам присущи те же недостатки [12, 17, 47] либо огра­ниченный диапазон применения в связи с эмпирическим характером [35].

Рассмотрим математическую модель протаивания мерзлых пород во­круг скважины, основные положения которой изложены в работе [57].

Горная порода находится в мерзлом состоянии и имеет равномерное температурное поле Т„. В начальный момент времени на цилиндрической поверхности скважины мгновенно устанавливается постоянная температу­ра То. В результате этого в окружающем массиве образуется подвижная граница плавления радиусом R, которая имеет нулевую температуру. Перенос тепла происходит только вследствие теплопроводности. Матема­тически задачу можно сформулировать следующим образом (индекс I относится к талой зоне, а индекс 2 к мерзлой):

1 д дТх

дТх

-, />0, /?<Г<оо;

Тi(r,0) = Urfi) = Г»; Г,(го,0 = То; Г,(Я,<) = T^R, t); dT2(oo, t)/dr = О

, <>0, 0<r<R;

(2.7)

(2.6)

На границе раздела имеем условие

(2.8)

-hdT^dr+XidTi/dr = &WqdR/dt.

Ниже предлагается инженерный метод решения цилиндрической зада­чи плавления (2.6) — (2.8), который может быть назван методом предель-

ных переходов. В процессе вывода будет принят ряд допущений, спра­ведливость которых подтверждена отличным совпадением расчетов с экс­периментом, данными гидравлического моделирования и численным ре­шением.

Сначала, для получения верхнего предела скорости движения цилинд­рической границы плавления, полагаем Т„ = 0. Допустим, что поток тепла через цилиндрическую стенку с внутренним и наружным радиусами го и Ro определяется выражением

dQ/dt = 2лА,| T0/n(Ro/r0). (2.9)

Это выражение можно представить в другой форме

dQ/dt = 2nkiT^R^/{Ra—ra), (2.10)

где R = (Ro+r0)/2.

Сопоставляя (2.9) и (2.10), находим

<po = 2(So-l)/((So+l)lnS0], (2.11)

где So —Ro/го.

Формула (2.11) учитывает различие тепловых потоков через плоскую и цилиндрическую стенку одинаковой толщины. Величина <ро изменяется в пределах от 1 до 0 по мере увеличения S0 от 1 до оо. Допустим далее, что потоки тепла через плоскую и цилиндрическую стенки толщиной (Ro—/о) и (Ro—ro) равны

2nXRTo/(Ro—го) = 2яХ|#7офо/(/?о—го). (2.12)

Приближенный закон движения плоской границы раздела фаз извес­тен. Принимая радиус цилиндрической полости (скважины) за начало отсчета, указанный закон представим в форме

Ro = г0+ V^iTot/(2QiWq+clQlTo). (2.13)

Из выражений (2.12) — (2.13) получим

Ro = Го+ ]/AkiTotyfa/QoiWq—CQiTo). (2.14)

Выражение (2.14) не является окончательным и нуждается в уточне­нии. Во-первых, оно не учитывает изменение температурного градиента при г = го в процессе движения цилиндрической границы плавления. С целью учета этого фактора воспользуемся, как и ранее, стационарным температурным полем

Т — То(-In—/1п—). (2.15)

>• Г о Го ‘

дГ,/дг = — Го/(го1п-^). ‘ (2.16)

Для прямолинейного поля температур в пределах той же цилиндриче­ской стенки имеем

дТх/дг = — Го/[го(Яо/го— 1)]. (2.17)

Допустим, что искомый коэффициент vo, учитывающий изменение тем­пературного градиента, при г = го можно представить как среднее ариф­метическое от суммы отношений (2.17) к (2.16) в начальный и текущий мо­менты времени. Заметим, что в начальный момент времени, когда положе­ние цилиндрической границы плавления Ro близко к го, это отношение оче­видно равно единице. Выполняя указанные действия, получаем

vo = 0,5+lnSo/[2(So-1)], (2.18)

где So = Ro/ro■ Теперь зависимость (2.14) можно представить в виде

Ro — Го+ ]А X. i7V<poVo/(2Q2tt7<7-t-CiOi7’o). (2.19)

Уточним зависимость (2.19), используя еще один предельный переход. Для этого, полагая в (2.19) W = 0, получаем закон изменения так назы­ваемого радиуса влияния скважины

L — г<>+ (2.20)

С другой стороны, используя интегральный метод, нетрудно показать, что точное значение зоны влияния при прямолинейном поле температур

L = г0+ /4M/(ci0i). (2.21)

Это выражение хорошо соответствует точному закону изменения ра­диуса влияния вокруг скважины, когда температурное поле представлено профилем (2.15). Таким образом, если W = 0, то выражение (2.19) долж­но переходить в соотношение (2.21). Учитывая это, перепишем выражение (2.19) в уточненной форме:

Ro — Го+ /4Х] 7" 0<ф^о/(2о2 Wq+CxQiT o<pfjvo). (2.22)

Положив теперь W = 0, действительно приходим к зависимости (2.21).

Полученное выражение (2.22) все же не является окончательным и нуждается в дальнейшем уточнении. Ход последующих рассуждений будет аналогичным выполненным выше. Прежде всего заметим, что вы­ражение (2.21) близко к точному значению при условии, что температур­ное поле принимается квазистационарным. Если исходить из фактическо­го температурного поля, то более точные результаты можно получить в том

случае, если вместо линейного и логарифмического температурных профилей использовать следующие представления: для плоского тела

Т | = Го(1—г/£,)г; (2.23)

для цилиндрического тела [Гудмен Т., 1967 г.]

Т| = То (a, In—+а2+аз-^—), (2.24)

^ Го Г Q ‘

s

где аь аг и аз — переменные, которые легко найти из граничных условий.

Если для определения радиуса влияния при профиле (2.23) исполь­зовать интегральный метод, то вместо (2.21) получим

L = г0+ ]Г(2.25)

Выполняя те же операции при профиле (2.24), приходим к дифферен­циальному уравнению относительно L. Его приближенное решение хорошо соответствует зависимости (2.25). В высокой точности зависимости (2.25) можно убедиться по данным работы [Карслоу X., Егер Д., 1964 г.]. Приме­няя использованное выше правило, согласно которому в предельном слу­

чае W = 0 зависимость для расчета движения цилиндрической поверхнос­ти плавления должна принимать форму (2.25), преобразуем выражение (2.22) к виду

Ro — го+ V12Л.1 Г otipo/(брг Wq—CtQT офо). (2.26)

Перепишем (2.26) в безразмерной форме

So = 1 + /l2Foi|>o/(6Ko+it>o), (2-27)

где Fo = a.[t/rl Ко = QsWq/(ciQiT0); фо = cpov0.

Выражения (2.26) и (2.27) являются окончательной формой закона движения границы протаивания вокруг скважины. Значения фо и vo опре­деляются формулами (2.11) и (2.18).

Согласно используемой в работе схеме составим условие теплового баланса

(О. бс^Тофо+СгШ^ХЛ—г0) =

= (0,5ciQ|Toi|3o-l"Gsir<7X^o——/?о)/(2ф), (2.28)

2 (R’/So-l) ле1 ln(R’/S0)

где „ _ ф Vi » _ 0.5+^-р^^; . — ».5+ws>_lV

Раскрывая (2.28), получим простую зависимость для расчета радиуса протаивания вокруг скважины, которая учитывает утечки тепла в мерзлую зону

S = Sof 1 , (2.29)

т ф(2Ко+ф0) /

где cq = c2Q2/(ciqi); e=7’„/7V, S — R/r0; R1— 1+/4Fo‘; Fo’ = a2t/ri

Отсюда следует, что утечки тепла в мерзлую зону приводят к уменьше­нию радиуса протаивания. Выражение (2.29) имеет существенные преиму­щества перед известными методиками. Оно одновременно удовлетворяет таким требованиям, как точность и общность, простота и ясный физиче­ский смысл. В самом деле, принимая функции кривизны i|50 = ф = 1. по­лучаем закон продвижения плоской поверхности плавления, который при

__ 0 трансформируется в закономерность изменения подвижного ра­диуса влияния скважины. Полагая © = 0, приходим к формуле (2.27), которая не учитывает утечки тепла в мерзлую зону, т. е. определяет верх­нее положение круговой границы плавления.

Комментарии запрещены.