Бурение грунтовых зондов, установка энергетических колодцев

При решении сложных термогидравлических задач, интересую­щих практику бурения, целесообразно использовать метод раз­мерностей, я-теорему и тебрию подобия.

Основное положение теории подобия приведено в теореме А. А. Гухмана и М. В. Кирпичева; два явления подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности.

При этом к условиям однозначности относятся:

1) геометрические условия, характеризующие размеры и форму объема, в котором протекает процесс; 2) физические свойства среды, существенные для рассматриваемого процесса; 3) гранич­ные условия, характеризующие взаимодействие среды с телами, ограничивающими объем, в котором протекает процесс; 4) началь­ное состояние системы, т. е. ее состояние в момент, когда начи­нается изучение процесса. *

Говоря иначе, два процесса подобны друг другу, если по за­данным характеристикам одного из них можно получить характе­ристики другого путем такого преобразования, когда размер каж­дой величины изменяется в определенное число раз.

Если, в частности, два тела — «н» (натура) и «м» (модель), имеющие массы шя и тм, под действием сил Fn и FM совершают движения, которые, согласно второму закону Ньютона, описыва­ются уравнениями

Ря = аятя — • • (IV. 1)

F м = амтм ••• (IV.2)

и эти движения подобны, то должно соблюдаться условие:

■ FJFh = Kf; rribil тп — Кт ям/ан = Ка> (IV. 3)

где величины Kf, Кт, Ка и т. п. называются множителями преоб­разования или константами подобия. Но с учетом (IV.3) выра­жение (IV.2) для модели можно записать’в виде

FttFF = КмГПнКааи — (IV. 4)

Поскольку же (IV.4) и (IV.1) по условию описывают подобные процессы, то они не должны отличаться друг от друга, что — воз­можно только в том случае, если ■

К. *

Кр = КтКа или = I — (IV.5)

Если вместо констант подобия подставить их значения, то для рассматриваемого случая получим

SHAPE * MERGEFORMAT

(IV. 6>

/Лм^М

—— = — = idem. тнан та

Безразмерные комплексы, составленные по типу выражения (IV.6), получили название критериев подобия и обычно обозна­чаются двумя первыми буквами фамилий ученых, известных своими работами в соответствующих областях науки. В частности, выражение (IV.6) называется критерием Ньютона и определяет подобие механических явлений. Его обозначение

Ne = Ft I то. , (IV. 7)

Те критерии, которые составлены только из физических вели­чин, входящих в условия однозначности, называются определяю­щими. Равенство определяющих критериев является условием по­добия, а критерии подобия, составленные из величин, не входящих в условия однозначности, называются неопределяющими крите­риями; равенство неопределяющих критериев лишь следствие по­добия.

В зависимости от конкретных условий изучаемого процесса вид критерия Ньютона может изменяться. Так, например, известно, что при движении несжимаемой жидкости могут действовать силы давления Р, тяжести G, трения Т, поверхностного натяжения S и т. д. Наряду с этим из опыта известно, что для данных сил могут быть приняты следующие соотношения: ‘

Р « рР G х РР<7; Т к pjv; S я al. (IV.8>

Следовательно, заменяя F в (IV.6) одним из значений кон­кретно рассматриваемой силы, можем получить: .

(IV.9) (IV. IO) (IV. 11) (IV. 12) (IV.13> Эйлера,

pl*gt

gl

pllt

1

lv Re

mu

дает

Критерии Eu, Fr, Re, We носят имена ученых

Наконец, замена в (IV.6) величины m на

plH pt Р —— = — = — = idem — Ей; piso р 1о ро*

Fit _ I I vt vFt2 vt Ho ’ ° I

gl I — = idem = — ; Fr =

plv _ vd Re = —; v all a

pPvv plv2 pto* We =————

p Pv p 1Ч>

pl3v yilvt

We ’

FP

alt

Fr

Фруда, Рейнольдса, Вебера. Критерий Но называется критерием гомохронности, так как он отражает подобие отрезков времени, в которые протекают подобные явления. Он применяется только в случаях неустановившегося движения.

По своей физической сущности критерий Фруда представляет собой отношение сил тяжести к инерционным силам; критерий Вебера — отношение сил поверхностного натяжения к инерцион­ным силам; критерий Рейнольдса — отношение сил инерции к си­лам внутреннего трения (вязкости).

Что касается критерия Эйлера, то он показывает, что в сход­ственных точках двух подобных потоков отношение p/pv2 имеет одинаковое значение. Так как перепад давления в жидкости обус­ловлен действующими в ней силами, то отсюда вытекает, что если будет’ соблюдаться условие Re=idem; Fr=idem; We=idem, то, как следствие, будет соблюдаться и условие Eu=idem. Следова­тельно, в общем случае

Ea = f (Fr, Re, We). (IV. 14)

Таким образом, для обеспечения подобия потоков достаточно ■ограничиться условием ‘

‘ Re = idem; Fr = idem; We == idem;

Поэтому в рассмотренном примере определяющими критериями являются критерии Фруда, Рейнольдса и Вебера. Критерий же Эйлера является производным. Однако здесь надо оговориться, что в трубной гидравлике критерии Фруда и Вебера не применя­ются, так как их влияние в случае течения жидкости по трубам пренебрежимо мало.. ‘

В теории подобия доказывается, что критерии подобия могут быть получены и непосредственно из любых дифференциальных уравнений по следующей схеме [48]:

1) записывается дифференциальное уравнение, описывающее исследуемый процесс; 2) обе части уравнения делятся на правую или левую часть. При наличии в дифференциальном уравнении нескольких слагаемых безразмерные комплексы получают деле­нием всех слагаемых на одно из них, причем в правильно состав­ленном уравнении все слагаемые имеют одну и ту же размер­ность; 3) вычеркиваются символы дифференцирования, включая символы порядка дифференцирования. Символы, показывающие степени дифференциалов, сохраняются. Символы суммирования аналогичных членов дифференцированного уравнения и индексов, характеризующих направление, вычеркиваются.

Пусть, например, второй закон Ньютона записан в следующей форме:

Действуя согласно второму пункту схемы, получаем;

Fdtt — mdH 1 ’

Вычеркивание символов дифференцирования дает

— = — = — = 1 (IV 6а)

ml mv та ‘

Сравнивая (IV.6a) с (IV.6) убеждаемся, что’оба эти выра­жения равнозначны.

Воспользуемся теперь указанной выше схемой для получения критериев теплового подобия. В самом общем случае сложный процесс конвективного теплообмена описывается при помощи диф­ференциального уравнения конвективного переноса тепла Фурье — Кирхгофа:

dt, dt, dt ■ dt (т > <?L, ?L /tvikv

‘fr+dx Vx+ dy Vs+ dz V*-a W+dy* +dz*J (IV15)

в сочетании с дифференциальным уравнением (IV.16), характери­зующим условия на границе раздела движущейся среды и тела,

. _^ = а(/с_*ж). . (IV. 16)

ап

Выражение (IV. 16) получается путем совместного решения урав­нений, описывающих основной закон теплопроводности (III. 10) Фурье и основной закон теплоотдачи (III. 14) Ньютона. Восполь­зовавшись ранее описанным правилом, разделим все выражение (IV. 16) на левую часть и приведем к виду.

a (tc — /ж) дп aAtdn ‘

Xdt = Xdt ’ ‘

Избавляемся от символов дифференцирования и рдзности, а сим­вол направления п заменяем неориентированным в определенном направлении линейным размером / и, проведя сокращения, полу­чаем критерий, который носит имя Нуссельта

Nu = al/X. , (IV. 17)

Этот критерий характеризует интенсивность теплообмена на гра­нице раздела фаз, а в конкретном случае движения жидкого тепло­носителя в трубе на границе жидкость — стенка трубы.

Далее вычеркиваем символы суммирования аналогичных чле­нов в уравнении (IV. 15) и путем деления’ всех членов этого уравнения на адЧ/дх2 получаем новые безразмерные комплексы:

dtdx2 dtvxdx* •

и

dxacPt dxacPt

Вычеркивая символы дифференцирования и направления, после сокращений получаем эти же комплексы в виде 1г/ах и vl/a. Первый дает критерий Фурье

. Fo = ах/Р, (IV. 18)

а второй комплекс носит название критерия Пекле.

Ре = vl/a (IV. 19)

Так как в параметр Фурье входит время, то он характеризует нестационарный тепловой процесс. Критерий Пекле характеризует отношение конвективных и кондуктивных потоков тепла при кон­вективном теплообмене. Комбинация критериев Пекле и Рей­нольдса дает новый критерий — критерий Прандтля:

pr=Ii=j21 = JL=J!- = HL . (IV.20)

Re avl а ар ay

Этот критерий характеризует физические свойства жидкости —он дает соотношения между кинематическими и тепловыми свойст­вами теплоносителя.

В тех случаях, когда теплообмен происходит в условиях есте­ственной конвекции и вызван разностью плотностей жидкости в-различных точках системы, для характеристики процесса поль­зуются критерием Грасгофа:

Сг = р-4*А/,

• V2

где Р=(р — Ро)/р — температурный коэффициент объемного рас­ширения; р, ро—плотности холодной и нагретой жидкости.

Найденные критерии позволяют для общего случая составить следующее физическое уравнение:

/ (Re, Сг, Nu, Рг, Fo). ‘ (IV.21)

Поскольку из всех критериев, входящих в (IV.21), только кри­терий Нуссельта является определяемым, так как он составлен целиком из условий однозначности, то уравнение (IV.21) записы­вают обычно в виде

. Nu = /(Re, Сг, Рг, Fo). , (IV.22)

Помимо критериев подобия, получаемых из дифференциальных уравнений, могут быть критерии, которые получаются непосред­ственно из условий задачи. Так, например, если при изучении движения жидкости в трубе задают диаметр d и длину трубы /, это дает основание получить критерий В’ виде

’ djl = idem. (IV.23)

Подобного рода критерии, вытекающие из условий самой за­дачи и представляющие собой отношение двух одноименных величин, называются параметрическими критериями или симплек­сами. Важно отметить, что параметрические. критерии всегда являются определяющими.

Вид функциональной зависимости между критериями опреде^ ляется опытом. При этом должны быть замерены все величины, которые входят в критерии подобия, характеризующие изучаемый процесс. Результаты опытов в таком случае целесообразно пред­ставлять в виде критериальных уравнений, которые обычно имеют вид степенных функций. Если, например, из уравнений, описываю­щих какой-либо процесс с учетом условий однозначности, было

найдено, что этот процесс характеризуется двумя определяющими критериями К и /С2, одним параметрическим Кз и одним неопре­деляющим /С4, то связь между этими критериями может быть представлена критериальным уравнением в виде •

TOC o "1-5" h z Ki = АКЧКЩ, (IV. 24)

где А, а, Ь, с — постоянные, определяемые из опыта.

Конкретно для случая теплового подобия зависимость (IV.24)’ должна быть записана в виде *

Nu = ^ReaCr6PKFoa!. (IV. 25).

Строго говоря, с математической точки зрения достичь на модели полной аналогии явлений натуры удается в крайне ред­ких случаях. Однако для целей практики оказывается возможным из нескольких действующих сил выбрать только одну и только ее принимать во внимание. .

Комментарии запрещены.