Ахиллес и черепаха
Ахиллес и черепаха
Сущность апории.
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если сначала движения черепаха находилась на неком расстоянии впереди него. Вправду, пусть изначальное расстояние есть ? и пусть Ахиллес бежит в k раз резвее черепахи. Когда Ахиллес пройдет расстояние ?, черепаха отползет на ?/k, когда Ахиллес пройдет это расстояние, черепаха отползет на ?/k2, и т.д., другими словами каждый раз меж состязающимися будет оставаться хорошее от нуля расстояние.
Противоречивость апории.
В этой апории, кроме такого же затруднения отсчитанной бесконечности, имеется и очередное. Представим, что в некий момент времени t? Ахиллес догонит черепаху. Запишем путь Ахиллеса
SA=
и путь черепахи
SA=
Каждому отрезку пути , пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок пути черепахи. Потому к моменту встречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков пути, сколько и черепаха. С другой стороны, каждому отрезку пути , пройденному черепахой, можно сравнить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но, не считая того, Ахиллес должен пробежать очередной отрезок длины ?, другими словами он должен пройти на единицу больше отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков, пройденное последней, есть ?, то получаем
1+?= ?.
Это последнее затруднение: «часть равна целому» — явилась потом предметом размышления Галилея, Николая Кузанского и многих других, которые давали этому феномину разные интерпретации. Чешский ученый Б. Болцано в первой половине XIX века установил, что хоть какое нескончаемое огромное количество может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со собственной правильной частью. Сейчас это свойство время от времени принимается в качестве определения нескончаемого огромного количества.
Зенон, как понятно, не отрицавший действительности движения, не сумел только логически поочередно осмыслить последнее, допуская тяжело обнаружимое нарушение главных логических принципов. Констатируя данный факт, В. И. Ленин высказал свое замечание: «Вопрос не в том, есть ли движение, как его выразить в логике понятий», чтоб избежать при всем этом формально логической непоследовательности. Задачка эта полностью разрешима уже при помощи средств, которыми располагает современная символическая логика и которые позволяют логически непротиворечиво показать диалектическую противоречивость беспристрастно реального процесса движения.