Квантовая жидкость
Квантовая жидкость
КВАНТОВАЯ ЖИДКОСТЬ — жидкость, на характеристики к-рой созданий. воздействие оказывают квантовые эффекты в поведении составляющих её частиц. Квантовые эффекты становятся существенными при очень низких темп-pax, когда волна де Бройля частиц, отвечающая их термическому движению, становится сопоставимой с расстоянием меж ними и происходит квантовое вырождение воды. С снижением темп-ры роль квантовых эффектов возрастает, и при довольно низкой темп-ре неважно какая жидкость должна была бы стать квантовой. Но подавляющее большая часть обыденных жидкостей затвердевает ранее, чем квантовые эффекты начинают проявляться сколько-либо приметно. Потому практически в прямом лаб. опыте приходится иметь дело с 2-мя К. ж.изотопами гелия: водянистым 4Не и водянистым 3Не (также с их растворами) при темп-pax ~ 1-2 К. К. ж., по-видимому, образуют нейтроны в нейтронных звёздах. В определ. смысле К. ж. составляют электроны в металлах и полупроводниках и экситоны в экситонных каплях в диэлектриках, также протоны и нейтроны в атомных ядрах. К. ж. систематизируют по статистике составляющих их частиц. Жидкость, состоящая из частиц с целым спином, бозонов (водянистый 4Не), наз. бозе-жидкостью, а из частиц с полуцелым спином, фермионов (водянистый 3Не),ферми-жидкостью.
Простые возбуждения. Квантовые эффекты в особенности ярко появляются при низких темп-pax, когда жидкость находится в слабовозбуждённых состояниях, близких к основному квантовому состоянию. Выявление параметров таких состояний — осн. задачка теории К. ж. Важное положение этой теории заключается в том, что переход пространственно-однородной К. ж. из осн. состояния в слабовозбуждённое можно обрисовать как возникновение в ней газа квазичастиц, либо простых возбуждений, каждое из к-рых обладает определёнными импульсом и энергией. Энергия квазичастицы e определяется её импульсом р. Зависимость e(р)закон дисперсии квазичастиц — является важной чертой К. ж. Всякое слабовозбуждённое состояние воды характеризуется рассредотачиванием квазичастиц по импульсам. Не считая импульса состояние квазичастицы в изотропной К. ж. характеризуется спиральностью — проекцией угл. момента на направление импульса. Квазичастицы, отличающиеся знаком спиральности, в воды, инвариантной относительно пространственной инверсии, имеют одну и ту же энергию, т. е. состояния квазичастиц с хорошей от нуля спиральностью дважды вырождены. Как и обыденные частички, квазичастицы подчиняются определ. статистикеБозе — Эйнштейна статистике либо Ферми — Дирака статистике. Квазичастицы с целой (включая нуль) спиральностью являются бозонами, с полуцелой — фермионами. При всем этом так как проекция угл. момента воды может изменяться только на целое число (в единицах h), фермиевские квазичастицы могут появляться и исчезать только парами квазичастица-дырка (подобными в известном смысле электрон-позитронным парам), а бозевские — поодиночке. В бозе-жидкости все квазичастицы являются бозонами, тогда как посреди частиц ферми-жидкости могут быть как фермиевские, так и бозевские ветки. В состоянии термодинамич. равновесия квазичастицы фермиевского и бозевского типов распределены по импульсам согласно ф-циям рассредотачивания безупречных (соответственно) фермии бозе-газов. Описание возбуждённых состояний воды на языке квазичастиц является приближённым. Это проявляется в конечности времени жизни квазичастиц, обусловленной их взаимодействием. При хороших от abs. нуля темп-pax затухание квазичастиц связано с процессами их обоюдного рассеяния и распада. При темп-ре abs. нуля рассеяние отсутствует и затухание квазичастицы связано только с процессами распада; если в том либо ином интервале импульсов они запрещены законами сохранения, квазичастица является строго незатухающей.
Ферми-жидкость. Обычная (несверхтекучая) фермиевская жидкость имеет диапазон квазичастиц, аналогичный диапазону безупречного ферми-газа. Его естественно обрисовывать, считая, что при темп-ре abs. нуля квазичастицы заполняют в импульсном пространстве все квантовые состояния прямо до нек-рого фермиевского импульса pF. Рождение пары квазичастица (с импульсом р) — дырка (с импульсом р’) описывается в этой картине как переход квазичастицы с импульсом -р’, сначало находившейся снутри фермиевской сферы, в состояние с импульсом р вне этой сферы. Т. о., квазичастицы могут иметь импульсы p>pF, a дырки pF. Важное положение теории ферми-жидкости, сделанной Л. Д. Ландау в 1956, заключается в том, что определяющий рассредотачивание квазичастиц фермиевский импульс рF связан с плотностью числа реальных частиц (атомов воды) N/V этим же соотношением, что и в безупречном ферми-газе:
pF = h(3p2)1/3(N/V)1/3 (1)
(N — число частиц, V — объём системы). В этом смысле число квазичастиц в ферми-жидкости равно числу реальных частиц воды. Энергия E ферми-жидкости является функционалом от функции рассредотачивания квазичастиц п(р); её изменение при изменении п(р)определяет энергию квазичастицы e(р):
(тут и дальше подразумевается, что рассредотачивание квазичастиц не находится в зависимости от их спиновых состояний, и опускаются спиновые индексы у всех величин). Принципиальное отличие ферми-жидкости от безупречного ферми-газа заключается в том, что энергия квазичастицы e(p) находится в зависимости от рассредотачивания всех других квазичастиц. Изменение e(р) при малом изменении п(р)имеет вид
Ф-ция f(p, р’)обрисовывает взаимодействие меж квазичастицами. Фермиевский импульс рF связан с хим потенциалом m воды равенством:
e(pF) = eF=m (4)
(eF — ферми-энергия). В округи фермиевского импульса
e(р) ~ m + vF(p-рF), (5)
где vF — скорость квазичастиц на фермиевской сфере. Отношение m*=pF/vF наз. действенной массой квазичастицы. Ввиду равенства числа частиц числу квазичастиц плотность импульса последних, делённая на массу частички т, должна быть равна сгустку их числа, что приводит к соотношению
варьирование к-рого по п даёт связь эфф. массы с ф-цией взаимодействия f:
Тут ф-ция f(p, р’)берётся при |p|=|p’|=pF, и потому она зависит только от угла q меж р и р’, do’=2p sin qdq — элемент телесного угла в направлении р’. Аналогично можно получить связь ф-ции f с сжимаемостью воды:
(r=mN/V — плотность воды, Р — давление). Энтропия воды выражается через ф-цию рассредотачивания квазичастиц той же ф-лой, что и для безупречного ферми-газа:
Рассредотачивание же квазичастиц по импульсам в состоянии термодинамич. равновесия даётся обыкновенной ф-лой рассредотачивания Ферми — Дирака (употребляется система единиц, в к-рой темп-pa Т выражается в энергетич. единицах, т. е. в к-рой k=1):
Это приводит к линейному по темп-ре закону теплоёмкости ферми-жидкосги:
Время жизни квазичастиц в ферми-жидкости определяется процессами их рассеяния. При abs. нуле темп-р они сводятся к рождению пар частица-дырка, причём возможность такового рассеяния (с учётом принципа Паули) для квазичастицы с импульсом р пропорц. (р-рF)2. Потому реальный физ. смысл имеют только квазичастицы поблизости поверхности Ферми, где эта возможность мала. Аналогично ср. длина пробега квазичастиц при конечных темп-pax l ~ Т-2, так что фермиевская жидкость при низких темп-pax в кинетич. отношении ведёт себя как разреж. газ и должна описываться кинетическим уравнением. Теплопроводимость ( и вязкость h ферми-жидкости с снижением темп-ры меняются след. образом:
(~T-1, h~T-2. (10)
Соответственно с снижением темп-ры растет затухание звука, так что при Т=0 распространение обыденного звука нереально. Может быть, но, распространение колебаний особенного рода — нулевого звука, в к-ром происходит непростая деформация ф-ции рассредотачивания квазичастиц. Закон дисперсии этих колебаний, как и у обыденного звука, линейный: w=u0k (где w — частота колебаний, k — волновое число), но скорость их распространения и0 не выражается конкретно через сжимаемость (8), а просит для собственного определения решения кинетич. ур-ния. Затухание нулевого звука пропорц. большей из величин (hw)2 и Т2 и при низких темп-pax не достаточно. Нулевой звук представляет собой бозевскую ветвь диапазона возбуждений ферми-жидкости. От рассредотачивания по импульсам квазичастиц, даваемого ф-лой (9), следует отличать рассредотачивание по импульсам реальных частиц. Последнее размыто даже при Т=0, но, как и рассредотачивание квазичастиц, имеет резкий скачок при p=pF Для описания магн. параметров ферми-жидкости нужно рассматривать ф-ции рассредотачивания частиц, зависящие от проекции их спинов на направление магн. поля. При всем этом ф-ция взаимодействия f является матрицей по спиновым индексам взаимодействующих частиц, к-рую в пренебрежении слабенькими релятивистскими (спин-орбитальным и спин-спиновым) взаимодействиями можно записать в виде
f = Ij(р, p’) + ss’G(p, р’), (11)
где I — единичная матрица, s и s’ — Паули матрицы ,действующие на спиновые индексы частиц с импульсами р и р’, j и G — скалярные ф-ции. Магн. восприимчивость c ферми-жидкости при низких темп-pax стремится к пост. лимиту:
где b0 — магн. момент изолированной частички. С микроскопич. точки зрения ф-ция взаимодействия f представляет собой амплитуду рассеяния квазичастиц «вперёд», когда передача энергии hw и передача импульса hk стремятся к нулю. Предельное значение амплитуды находится в зависимости от порядка перехода к обозначенному лимиту, и ф-ция f выражается через амплитуду, когда w, k и k/w стремятся к нулю. Последоват. микроскопич. вычисление характеристик ферми-жидкости может быть только в случае разреж. системы, т. е. ферми-газа ,когда ср. расстояние меж частичками велико по сопоставлению с длиной рассеяния а частиц друг на друге:
(N/V)-1/3>>a. (13)
В данном случае все свойства системы можно найти, используя теорию возмущений. А именно, для эфф. массы имеем:
Бозе-жидкость. В области самых малых импульсов квазичастицы в бозе-жидкости являются фононами — квантами звука с законом дисперсии
e(р) = ир, (14)
где и — скорость звука, связанная со сжимаемостью воды при Т=0 обыкновенной ф-лой:
u2 = дP/дr (15)
Соответственно теплоёмкость воды при самых низких темп-pax имеет вид
Ход кривой диапазона e(р) при не малых значениях импульса определяется определенными качествами взаимодействия атомов. В реальном 4Не эта кривая, измеренная экспериментально при помощи неупругого рассеяния неспешных нейтронов, имеет форму, показанную на рисунке. Практически вклад в термодинамич. ф-ции воды, не считая исходной — фононной — части, заносят квазичастицы поблизости минимума кривой — ротоны, где кривая может быть представлена в виде
с эксперим. значениями характеристик: D=8,7 К, р0/h=1,9.108 см-1, m* = 1,1.10-24 г. При обычном давлении д2e/др2|р»0>0. Это приводит к тому, что фононы нач. части кривой могут распадаться на фононы с наименьшими импульсами, что даёт при малых р затухание ~ р5. Большая же часть кривой при T=0 является незатухающей. При р~1,5р0 кривая e(р) добивается значения 2D. В этой точке возникает возможность распада квазичастицы на два ротона с энергиями D каждый. При всем этом значении импульса кривая e(р) обрывается. Важным свойством бозевской воды при низких темп-pax является её сверхтекучесть — способность двигаться относительно сосуда без диссипации энергии. Как показал Л. Д. Ландау (1941), это свойство плотно сплетено с видом диапазона квазичастиц. Диссипация энергии при abs. нуле темп-ры значит рождение квазичастиц при движении. Но для диапазона, показанного на рис., таковой процесс неосуществим при довольно малой скорости движения в силу законов сохранения энергии и импульса. Вправду, пусть жидкость движется относительно сосуда со скоростью V. Тогда если энергия квазичастицы в недвижной воды есть e(р), то в системе координат, связанной с сосудом, её энергия равна e(p)+pV, согласно закону преобразования энергии в нерелятивистской механике. Рождение квазичастиц, связанное с диссипацией энергии, может быть, если последнее выражение негативно при каких-либо значениях р, т. е. если скорость движения больше критич. скорости Vc (аспект Ландау):
V>Vc = min[e(p)/p]. (17)
Если правая часть выражения (17) отлична от нуля, как это имеет место для реального диапазона гелия, показанного на рис., диссипация отсутствует при всех скоростях, наименьших Vc. При Т=0 вся жидкость движется как сверхтекучая. При конечных темп-pax совокупа квазичастиц движется как рядовая жидкость — это «обычная часть», с к-рой связана нек-рая плотность обычной части воды rn. Остальная часть плотности rs=r-rn движется как сверхтекучая жидкость. По мере роста темп-ры р„ возрастает, и при нек-рой темп-ре T=Tl(Р), зависящей от давления, rs обращается в нуль и жидкость теряет свойство сверхтекучести. Линия T=Tl(Р) является линией фазовых переходов второго рода. Для 4Не при давлении насыщенных паров Tl=2,18 К. Поблизости темп-ры перехода rs обращается в нуль по закону: rs~ (Tl — T)(2-a)/3, где a~ — 0,01 — критич. показатель теплоёмкости.
Типичными особенностями обладает рассредотачивание по импульсам настоящих частиц — атомов воды. При Т < Tl в воды происходит Бозе - Эйнштейна конденсация, так что в наинизшем квантовом состоянии с р=0 находится конечная толика всех атомов. Волновая ф-ция y0 этих "сконденсированных" атомов является дополнит. классич. переменной, описывающей сверхтекучую жидкость. Она записывается в виде
где n0 — плотность числа частиц в конденсате, j — фаза. y можно рассматривать как полный параметр порядка, наличие к-рого отличает сверхтекучую фазу от обычной. Плотность числа частиц п0 не связана конкретно с rs, но она обращается в нуль сразу с rs в точке перехода, хотя и по несколько иному закону: n0 ~ (Tl — T)2b, где b — критич. показатель параметра порядка. Фаза же волновой ф-ции конденсата определяет скорость сверхтекучей части бозе-жидкости (сверхтекучую скорость):
(m — масса атома). При низких темп-pax п0 миниатюризируется с увеличением темп-ры по закону:
Рассредотачивание по импульсам частиц, не находящихся в конденсате, имеет особенность в области малых импульсов:
Особенный нрав имеет вращение сверхтекучей части бозе-жидкости. Оно происходит вокруг отд. вихревых нитей, циркуляция скорости вокруг к-рых, в силу (19), квантована и равна целому кратному от 2ph/m. Микроскопич. вычисление характеристик бозе-жидкости может быть также только в пределе разреж. системы, удовлетворяющей условию (13), т. е. бозе-газа. Для такового газа диапазон квазичастиц для всех значений р определяется ф-лой Боголюбова (Н. Н. Боголюбов, 1947):
При малых р диапазон (20) имеет вид (14), причём скорость звука и равна и=(4ph2па/m2)1/2. При р » : (20) перебегает в диапазон свободных атомов р2/2m. Плотность числа атомов в конденсате при Т=0 в этой модели равна
Для реальной воды можно получить приближённую интерполяц. ф-лу Фейнмана, связывающую диапазон возбуждений со статпч. формфактором воды S(k), к-рый можно найти по рассеянию рентгеновских лучей жидкостью:
Согласно этой ф-ле, ротонному минимуму соответствует максимум S (k), связанный с ближним порядком в расположении атомов воды.
Сверхтекучая ферми-жидкость. При довольно низких темп-pax состояние обычной ферми-жидкости оказывается неуравновешенным, если взаимодействие меж квазичастицами имеет нрав притяжения. Более точно, неустойчивость появляется, если амплитуда рассеяния квазичастиц с обратными импульсами имеет соответственный притяжению отрицат. символ хотя бы при одном значении относит. угл. момента I квазичастиц. Тогда с снижением темп-ры при нек-рой критич. темп-ре Тс происходит «спаривание» — образование молекулоподобных куперовских пар квазичастиц с обратными импульсами. Эти пары являются бозонами и в нек-рых отношениях ведут себя как бозевский конденсат. Темп-pa перехода Тс экспоненциально находится в зависимости от амплитуды для соответственного l. Ниже Тс ферми-жидкость становится сверхтекучей. Определенные характеристики сверхтекучей фазы зависят от значения момента, при к-ром происходит спаривание. Если спаривание происходит в состоянии с l=0, то жидкость остаётся изотропной. Волновая ф-ция электрических пар является в данном случае скаляром вида (18). Диапазон квазичастиц ниже точки перехода изменяется и приобретает вид
e(р)==[D2 + v2F(p-pF)2]1/2 (21)
Из (21) видно, что в диапазоне имеется «щель»: мин. энергия, нужная для рождения квазичастицы, равна D (а пары частица-дырка 2D). Щель D находится в зависимости от темп-ры и обращается в нуль при Т=Тc. При Т=0 D=1,75Tc Благодаря наличию щели в диапазоне теплоёмкость, соответственная фермиевской ветки возбуждений (21), при низких темп-pax экспоненциально мала. Система, но, имеет и бозевскую ветвь возбуждений — обыденный звук с законом дисперсии (14) — (15), так что теплоёмкость при низких темп-pax определяется законом (16). Диапазон (21) удовлетворяет условию сверхтекучести с конечным значением Vс. Само это условие не является нужным для сверхтекучести ферми-жидкости, так как неогранич. рождение фермиевских квазичастиц запрещено принципом Паули. Но его выполнение обеспечивает равенство rn=0 при T = 0. Подобными качествами, осложнёнными наличием электрич. заряда и анизотропией, владеют электроны в сверхпроводящей фазе металлов (см. Сверхпроводимость). Реальный 3Не перебегает в сверхтекучее состояние с темп-рой перехода при нулевом давлении Tc~10-4 К. Спаривание происходит в состояние с l=1 и спином 1. Параметр порядка — волновая ф-ция пар — может быть в данном случае представлен в виде тензора второго ранга yik, 1-ый индекс к-рого относится к орбитальным, а 2-ой — к спиновым переменным. Сверхтекучий 3Не является, т. о., водянистым кристаллом. Есть две фазы сверхтекучего 3Не — Аи B-фазы, отличающиеся видом тензора yik. Низкотемпературная B-фаза более изотропна, её анизотропия связана только с относительно слабеньким взаимодействием спинов ядер атомов 3Не с их орбитальным движением. В пренебрежении этим взаимодействием тензор yik можно привести к виду yik= y0dik где y0 — нек-рый скалар (dik — знак Кронекера). Диапазон квазичастиц имеет вид (21) с не зависящей от углов щелью D. A-фаза значительно анизотропна. Тензор yik для неё можно привести к виду
где Di’, Di», tk — составляющие единичных вещественных векторов D’, D», t. Векторы D’ и D» ортогональны и их векторное произведение l определяет направление орбитальных моментов всех куперовских пар. Вектор t определяет направление, на к-рое проекция спинов пар равна нулю. Диапазон возбуждений А-фазы имеет вид (21), но щель находится в зависимости от угла q меж направлением импульса р и вектором l:D2 ~ sin2 q. Лит.: Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е., Способы квантовой теории поля в статистической физике, М., 1962; Пайнс Д., Нозьер Ф., Теория квантовых жидкостей, пер. с англ., М., 1967; Сверхтекучесть гелия-3. Сб. ст., пер. с англ., М., 1977; Л и ф ш и ц Е. М., Питаевский Л. П., Статистическая физика, ч. 2 — Теория конденсированного состояния, М., 1978; Квантовые воды и кристаллы, Сб. ст., пер. с англ., М., 1979. Л. П. Питаевский.
Источник: www.femto.com.ua/articles/part_1/1554.html