Турбулентность как естественное состояние течения воды
Турбулентность как естественное состояние течения воды
Динамика воды базирована на исследовании сравнимо обычных течений: свободных струй и следов, пограничных слоев, прилегающих к жесткой поверхности, течений в прямых трубах и плоских каналах. Эти традиционные течения образуют особый случай и могут быть отнесены к течениям в пограничных слоях либо (более общо) к двумерным потокам. При переходе к турбулентности необходимо проявлять осторожность, когда имеется среднее двумерное течение, потому что по сути турбулентное движение остается стопроцентно трехмерным.
Для того чтоб представить конкретно сущность турбулентности как основного явления движения воды, разглядим стационарное среднее течение в плоском канале в качестве презентабельного примера. Не считая того, так как динамика воды не врубается в обыденный курс физики, мы начнем с лаконичного введения в математическое описание движения воды на уровне уравнений и разглядим методы их внедрения к обычным ламинарным течениям.
Дальше подвергнутся рассмотрению течения несжимаемой воды. Для обсуждения критерий, при которых это может быть справедливо, см. [Бэтчелор, 1967]. Для наших целей оно сводится к утверждению того, что плотность r всегда остается неизменной, а уравнение неразрывности можно записать в виде
, (2)
где Ub(x, t) – скорость воды в точке x в момент времени t. Отметим, что тут в главном употребляется декартова система записи тензоров, греческие индексы a, b, g, … принимают значения 1, 2, 3, …. Мы также будем использовать соглашение о суммировании, согласно которому по циклическим индексам проводится суммирование.
Для несжимаемой воды уравнение, выражающее закон сохранения импульса, записывается в виде
, (3)
где sab – тензор напряжений, P – давление. Для ньютоновской воды тензор напряжений задается соотношением
, (4)
где n – кинематическая вязкость воды.
Подставляя sab из (4) и воспользовавшись уравнением (2), получим уравнение движения несжимаемой ньютоновской воды в виде
(5)
которое понятно как уравнение Навье–Стокса. Для тех читателей, которые незнакомы с этим уравнением, его вывод можно отыскать в почти всех учебниках по динамике воды (к примеру, [Бэтчелор, 1967]). На этой стадии может быть полезно выяснить, что это уравнение есть не что другое, как 2-ой закон Ньютона, примененный к водянистому континууму. Для этого нужно разглядеть отдельную водянистую частичку объема dV и массы dm = r dV, которая согласно механике Ньютона и собственной континуальной природе (конвективная часть) имеет ускорение ¶ U/¶ t + (U, N)U. Правая часть уравнения обрисовывает взаимодействие меж водянистым элементом и остальной жидкостью.
Уравнения (2) и (5) обрисовывают движение многих обыденных жидкостей, таких, как вода, алкоголь, глицерин, воздух и большая часть газов, при условии, что их плотность остается неизменной. Многие другие воды (к примеру, суспензии, смеси полимеров) требуют для собственного описания более сложных конститутивных соотношений меж тензором напряжений и тензором скоростей деформаций, чем рассмотренная ниже линейная связь.
В качестве определенного примера разглядим стационарный сдвиговый поток меж нескончаемыми пластинами, которые размещены параллельно плоскости (x1, x3) при x2 = 0 и x2 = 2a. Течение воды происходит исключительно в направлении x1, а поле скорости сводится к U(x, t) = (U1(x2), 0, 0). Тогда производная по времени от скорости исчезает, а нелинейный член в уравнении (5) можно записать в виде
, (6)
в итоге чего уравнение Навье–Стокса запишется последующим образом:
, (7)
Отметим, что равенство нелинейного члена нулю – это свойственное свойство одномерного ламинарного течения и что уравнение Навье–Стокса в этой личной ситуации обрисовывает равновесие меж продольным градиентом давления и вязкими напряжениями. Для этого течения тензор вязких напряжений можно получить из соотношения (4):
, (8)
это выражение соответствует закону Ньютона. Этот закон дает сразу и определение и способ измерения динамической вязкости m = rn. Исходя из убеждений физики этот эффект можно интерпретировать как необратимый поток продольного импульса (т.е. в направлении x1) в направлении x2.
Можно решить уравнения (7) и (8) сразу и получить отлично узнаваемый параболический профиль скорости. Для этого подставим уравнение (8) в уравнение (7), получим
, (9)
Интегрируя два раза и используя условия «прилипания» U1(0) = U1(2a) = 0, получим
, (10)
Следует увидеть, что в рассматриваемой ситуации давление зависит только от одной переменной, потому подмена личной производной на обычную справедлива. К тому же давление меняется в направлении движения потока, как следует, его градиент является отрицательной величиной, а выражение для скорости – положительной.
Можно получить много физических сведений о турбулентности, если учить методы передачи энергии от точки к точке в турбулентном потоке либо от одной группы вихрей с определенными размерами к другой с другими размерами. Отметим, что под словом «энергия» мы будем всегда иметь в виду кинетическую энергию макроскопического движения воды. Начнем с неких общих для ламинарных и турбулентных течений суждений.
В общем случае жидкость, занимающая объем V и ограниченная поверхностью S, обладает кинетической энергией ET, связанной с движением воды, выраженной через поле моментальной скорости U(x, t), равной:
, (11)
Дальше время от времени будет применен символ суммирования заместо соглашения о циклических индексах вида Ua2 = Ua Ua. Просто показать (см., к примеру, [МакКомб, 1990]), что уравнение для ET может быть выведено из уравнения Навье–Стокса, при всем этом получим
, (12)
где fa(x, t) – наружняя сила (на единицу массы воды), а e – энергия диссипации в единицу времени на единицу массы воды. Она определяется выражением
(13)
Уравнение (12) гласит нам о том, что скорость конфигурации энергии равна скорости притока энергии за счет работы наружных сил и убыли за счет преобразования энергии в тепло благодаря вязкости. Создадим по этому поводу два замечания.
Во-1-х, нелинейные члены в уравнении Навье–Стокса не заносят вклада в уравнение (12), т. е. эти члены не создают работы над системой. (Это замечание относится и к давлению: как будет видно из предстоящего изложения, давление действует аналогично нелинейным членам.) Математически это разъясняется тем, что хоть какой член, имеющий дивергентный вид в уравнении для энергии, исчезает при интегрировании по объему системы при получении уравнения для глобального значения этой величины.
Во-2-х, вязкие члены можно поделить на две части, одна из которых имеет диффузионный нрав и исчезает при интегрировании, а другая обрисовывает диссипацию энергии и представлена в правой части уравнения (13).
Научное исследование турбулентности берет начало с работ Осборна Рейнольдса (1883). Задачка, которую решал Рейнольдс, принадлежит к традиционным работам, посвященным исследованию течений в прямых трубах с неизменным радиальным сечением. Используя собственный «метод цветных полосок», он первым показал для данной воды и характеристик трубы, что течение будет ламинарным для скорости воды, не превосходящей некой критичной величины. При скорости, равной критичной, течение в один момент становится турбулентным на неком расстоянии от начала трубы. При скорости больше критичной турбулентное состояние оказалось полностью обычным, хотя и можно поддерживать ламинарное состояние, устраняя возмущения на входе в трубу. Опыты Рейнольдса проявили, что малое значение безразмерной скорости R, определенной соотношением (1), при котором может показаться турбулентность, примерно равно 2000. Но ламинарное течение в трубе может быть метастабильным при существенно огромных числах Рейнольдса. Подробности по этому вопросу можно отыскать в монографии [Шлихтинг, 1968].
Разглядим сейчас течение в трубе, когда число Рейнольдса приметно превосходит критичную величину. На рис. 1 показано рассредотачивание средней скорости зависимо от расстояния точки наблюдения от оси трубы. Среднее течение ориентировано по оси x1, а x2 – поперечная либо круговая координата. Для сопоставления изображен также эквивалентный ламинарный профиль для такого же числа Рейнольдса. Последний профиль, естественно, описывается параболой, определенной соотношением (10), приобретенной из уравнения Навье–Стокса. Теория турбулентности должна решить аналогичную задачку для турбулентного профиля скорости.
Рис. 1. Сопоставление ламинарного и турбулентного рассредотачиваний
средней скорости для течения в трубе при R = 105
Обычно, мы будем рассматривать среднее значение как итог осреднения по времени, при всем этом средняя скорость будет обозначаться чертой сверху. В общем случае операция осреднения, определенная неким методом, будет изображаться угловыми скобками a n, и эти скобки будут употребляться для обозначения моментов более высочайшего порядка. Так, для средней скорости можно написать
, (14)
где 2T – время осреднения, которое должно быть значительно больше времени турбулентных пульсаций для их удачного сглаживания и значительно короче соответствующего наружного времени задачки. Для определенности дальше будут рассматриваться течения, средняя скорость которых постоянна по времени.
В этом пт мы следуем процедуре, предложенной Рейнольдсом (1885), согласно которой моментальная скорость представляется в виде суммы средней по времени скорости и отклонений от этого среднего значения ua, т.е.
, (15)
Аналогично можно представить и давление
, (16)
где – среднее давление, а p(x, t) – флуктуации давления.
Из этих определений следует, что флуктуации имеют нулевое среднее, т. е.
, , (17)
С физической точки зрения этот итог имеет обычное разъяснение: в среднем моментальная скорость однообразное время как превосходит среднюю скорость, так и имеет значения меньше ее. Соответственно среднее от квадрата флуктуаций не равно нулю и можно ввести среднеквадратичную величину u? последующим образом:
. (18)
На практике u? нередко употребляется как комфортная мера интенсивности флуктуаций.
Мы напоминаем, что зависимость от времени, обозначенная выше для среднеквадратичного значения флуктуаций, относится к неспешным наружным изменениям и оставлена исключительно в целях обобщения записи. Когда мы обратимся к определенным примерам реальных течений, то будем ограничиваться только стационарными вариантами.
Разглядим поначалу уравнение неразрывности (2). Если мы подставим разложение (15) и усредним согласно определению (14) и (17), то получим
. (19)
Вычитание этого результата из уравнения (2) дает схожий итог для ua, как следует, средняя скорость и флуктуации удовлетворяют уравнению неразрывности порознь. Приобретенный итог является обычным следствием линейности уравнения (2).
Для того чтоб оперировать схожим образом с уравнением движения, подставим соотношения (15) и (16) в уравнение (5) и усредним его почленно. Просто показать, что операция осреднения коммутирует с оператором дифференцирования по времени (см., к примеру, [МакКомб, 1990]).
Сейчас нам приходится работать с нелинейными членами, потому, замечая, что , получим
(20)
Сопоставление с уравнением (5) указывает, что уравнение для средней скорости в точности совпадает с уравнением Навье–Стокса, записанного для средней скорости, в которое добавлен член, содержащий величины aua ubn. Таким макаром, уравнения для среднего движения (в этом случае уравнения (19) и (20)) содержат три независящих неведомых: , и aua ubn. Если мы заглянем вперед, то увидим, что уравнение (22) для флуктуаций скорости может быть применено для получения уравнения для третьей неведомой aua ubn. Но оно будет содержать неведомые моменты третьего порядка и т. д. В этом заключается популярная неувязка замыкания, отмеченная в пт 1.
Уравнение (20) есть уравнение Рейнольдса, а член с aua ubn – это (кинематическое) рейнольдсово напряжение. Этот член обрисовывает перенос импульса турбулентными флуктуациями. Как было отмечено Рейнольдсом, этот член значительно наращивает вязкие напряжения, обусловленные случайным блужданием молекул. Догадка о том, что существует аналогия меж этими 2-мя процессами, совместно с утверждением, что величина aua ubn может быть выражена линейным образом через тензор скорости деформаций и некий действенный (и очевидным образом записанный) коэффициент вязкости, была главной темой в исследовательских работах турбулентности.
Подробный вывод тензора напряжений для очевидного выражения турбулентного трения можно отыскать в монографии [Шлихтинг, 1968, с. 537]. Тут нам будет удобнее ввести полный тензор сдвиговых напряжений при помощи соотношения
, (21)
в каком тензор вязких напряжений определен соотношением (4).
Уравнение движения для флуктуаций скорости выходит вычитанием уравнения (20) из уравнения (5):
. (22)
Ясно, что хоть какой член этого уравнения при усреднении исчезает. Но если помножить их на ug(x, t) и усреднить, то мы получаем базу для исследования одноточечной одновременной иерархии в согласовании с известными инженерными способами. Но можно помножить на ug(x?, t?) и усреднить, тогда получим двухточечную двухвременную иерархию, лежащую в базе фундаментального подхода. Но поначалу мы сконцентрируем внимание на одноточечной форме уравнений. А именно, мы разглядим энергетический баланс для флуктуаций.
В турбулентном случае уравнение (11) для полной кинетической энергии просто обобщить: учтя разложение (15), получим
, (23)
где снова применено свойство.
Обычно мы будем интересоваться только энергией, связанной с флуктуациями скорости ug(x, t). Можно получить соответственное уравнение сохранения энергии из уравнения для тензора напряжений Рейнольдса. Подробности вывода можно отыскать в почти всех монографиях [МакКомб, 1990], тут мы только обрисуем общие контуры подхода и процитируем окончательный итог.
Разглядим уравнение (22) для компонент флуктуаций ua(x, t). Перепишем его в виде уравнения для ug(x, t), оставляя все другие индексы без конфигурации и присвоив ему номер (22a). Сейчас умножим (22) на ug(x, t) и усредним. После чего умножим (22a) на ua(x, t) и усредним. Потом, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения функций, сложим приобретенные уравнения совместно. Эта процедура приводит нас к уравнению для кинематических напряжений Рейнольдса aua ugn. Если мы сейчас положим a = g, то получим уравнение для среднеквадратичных флуктуаций (либо обычных компонент напряжений) в виде
(24)
Если мы сейчас просуммируем данное выражение по a, разделим на два, то получим уравнение сохранения турбулентной кинетической энергии E на единицу массы:
(25)
где
(26)
Левая часть уравнения (25) дает полную скорость конфигурации по времени (т. е. локальное плюс конвективное) турбулентной кинетической энергии на единицу массы воды. Другими словами, уравнение (25) гласит нам, что полная скорость конфигурации турбулентной энергии по времени стопроцентно определяется членами, расположенными в правой части уравнения. Для того чтоб придать этому определенный смысл, следует увидеть, что 1-ые три члена в правой части уравнения (25) могут быть записаны в дивергентном виде и в согласовании с этим не заносят вклада в глобальный баланс энергии. Как следует, основной эффект этих членов заключается в диффузии турбулентной энергии в пространстве за счет нелинейных и вязких взаимодействий соответственно.
Трудность, возникающая с четвертым членом, заключается в том, что он не может быть записан в дивергентном виде. Но если вывести уравнение баланса энергии для средней скорости, то соответственный член может быть найден. Два этих члена, взятых вместе, можно проинтегрировать и узреть, что они дают сохранение полной энергии. Таким макаром, можно интерпретировать 4-ый член правой части уравнения (25) как поток энергии от среднего поля к полю флуктуаций. В литературе он нередко именуется «генеративным членом»: см. [Хинце, 1975]. Разумеется, что последний член в правой части рассматриваемого уравнения выражает необратимую диссипацию кинетической энергии в термическую.
В конце концов, заметим, что нереально решить ни уравнение (24), ни уравнение (25): неувязка замыкания не позволяет это сделать. Все же каждый член в отдельности может быть измерен экспериментально, потому генерация флуктуаций и энергетический баланс изучаются таким методом. Мы вернемся к этому позднее.
В случае течения в канале мы конкретизируем функцию осреднения. Аргументы, использованные для скорости воды в случае ламинарного течения в канале, сейчас применимы только к средней скорости, направленной по оси и зависящей от координаты . Так, для средней скорости можно написать
. (27)
Так как течение в канале стационарно, примем дальше, что средняя скорость постоянна во времени.
Для средней скорости, определенной выражением , просто показать, что уравнения (19) и (20), выражающие сохранение массы и импульса, приводятся к виду
(28)
и
. (29)
Если мы сравним этот итог с уравнением (9), подходящим случаю ламинарного течения, то можем увидеть, что в дополнение к подмене моментальных величин на их средние значения возникает корреляция флуктуационных скоростей au1 u2n, обычно именуемая напряжениями Рейнольдса, которая дополняет вязкий член и выражает дополнительное сопротивление движению за счет флуктуаций.
Уравнение (25), описывающее баланс турбулентной энергии, можно еще применить к случаю стопроцентно развитого, стационарного среднего течения в плоском канале. Требуя выполнения обозначенных ограничений, можно приравнять нулю производные по t, x1, x2, также недиагональную корреляцию, содержащую u3, и свести начальное уравнение сохранения энергии к виду, адаптированному для описания развитого турбулентного течения в канале:
(30)
В этом выражении отброшен член вязкой диффузии на том основании, что он мал по сопоставлению с остальными членами практически во всей области, не считая пристеночной, как это следует из экспериментальных данных.
Можно охарактеризовать турбулентный пограничный слой в воды, текущей около жесткой поверхности, при помощи масштаба длины и скорости, задав полную толщину слоя d и скорость набегающего потока. Эти характеристики известны под заглавием «внешних масштабов». Но можно найти и «внутренние масштабы», которые нужно использовать, если нам необходимо охарактеризовать структуру турбулентности. Для того чтоб дискуссировать скейлинговое поведение в сдвиговых течениях, нужно ввести надлежащие внутренние масштабы.
Сначала обычно делят турбулентный пограничный слой на внутренний слой (приближенно), расположенный в области 0 ? x2 ? 0,2 d, и наружный слой, ограниченный областью 0,2 d ? x2 ? d, где координата x2 измеряется по нормали к поверхности: x2 = 0 на поверхности и x2 ~ d на наружной границе пограничного слоя. (Следует увидеть, что положение наружной границы турбулентного пограничного слоя само по себе является случайной величиной, потому, когда мы ссылаемся на нее, то подразумеваем среднее значение.) Такое разделение на слои основано на экспериментальных наблюдениях, которые демонстрируют, что величина полного напряжения сдвига t12, определенного соотношением (21), остается фактически неизменной во внутреннем слое и приближенно равна его значению tw на поверхности (стене).
Подобные рассуждения, относящиеся к пограничному слою на пластинке в потоке воды, могут быть перенесены на течение в канале. В таком течении всепостоянство величины напряжения сдвига в подслое не является очень выраженным свойством, но подразделение на подслои все еще оправдано общей феноменологией.
Внутренний слой можно поделить на подслои по относительной величине вязких и турбулентных напряжений. В этом случае уравнение (21) воспринимает обычный вид
, (31)
в каком вязкий член определяется законом Ньютона по средней скорости деформации, а турбулентная часть соответствует компоненте тензора напряжений Рейнольдса.
Около стены граничное условие, накладываемое на скорости: {u1, u2} ® 0 при x2 ® 0, утверждает, что произведение u1 u2 стремится к нулю при приближении к стене. Потому на стене напряжение обосновано только вязкими напряжениями и может быть записано в виде
, (32)
Сейчас можно найти вязкий подслой как область поблизости стены, в какой доминирует 1-ый член в правой части соотношения (31). Для огромных значений x2 2-ой член в правой части (31) становится доминирующим, потому эта область нередко именуется областью всепостоянства турбулентного напряжения. Разумеется, что существует промежная область, в какой оба члена имеют однообразный порядок величины. Такая область именуется переходной (либо, нередко, буферным подслоем).
Физическую меру каждого из этих подслоев более комфортно выразить через так именуемые «внутренние переменные», которые могут быть введены последующим образом.
Анализ размерностей (подтвержденный тестом) указывает, что подходящим масштабом скорости для внутренней области может быть величина
, (33)
в согласовании с которой масштаб длины внутреннего слоя обусловится как
«масштаб длины внутреннего слоя» = n / ut , (34)
где ut – так именуемая «вязкая скорость». Как будет видно из предстоящего, ut имеет тот же порядок, что и величина среднеквадратичной флуктуации скорости.
Используя соотношения (32) и (33), можно найти безразмерные переменные:
, . (35)
Эти величины созданы для измерения расстояний от стены в единицах n/ut и для малой вязкости приводят к растяжению пристеночной области.
Экспериментальные результаты (которые будут дискуссироваться позднее) позволяют предложить последующую систематизацию:
внутренний слой 0 ? x2 ? 0,2 d
наружный слой 0,2 d ? x2 ? d
При всем этом внутренний слой разбит на подслои последующим образом:
вязкий подслой 0 ? ? 5
переходный слой 5 ? ? 30
турбулентный слой
неизменного напряжения > 30
Следует выделить, что соответствующие величины, принятые для x2 и с целью ввести систематизацию слоев, различны у различных создателей. Это, непременно, подчеркивает трудности в установлении четких критериев установления границ меж подслоями.
Феноменологические теории для среднего профиля скорости были подкреплены экспериментальными наблюдениями, позволяющими проверить законы подобия в рассматриваемых тут ситуациях. К примеру, во внутренней области пограничного слоя совокупа измерений средней скорости может быть сведена к универсальной форме:
, (36)
которая известна как «закон стенки».
Подразумевается, что стена имеет гладкую поверхность. Если высота (как-либо определенная) неоднородностей на стене меньше, чем толщина вязкого подслоя, то молвят, что стена «гидравлически гладкая» и производится закон подобия (36). Если высота неоднородности больше толщины вязкого подслоя, то она определяет масштаб внутренней области.
С другой стороны, для наружной области опыт дает самосохраняющуюся форму профиля вида
, (37)
которая известна под заглавием «закон недостатка скорости».
Функции f и g могут быть определены (по последней мере, для большей части пограничного слоя), если востребовать тут, чтоб была область, где обе формы (либо даже их 1-ые производные) непрерывны. Подробные пояснения могут быть найдены в книжке [Хинце, 1975]. Итог известен: функции f и g должны быть логарифмами, а уравнение (37) воспринимает вид
(38)
где A и B – неизменные, которые должны быть определены из сопоставления соотношения (38) с экспериментальными плодами.
Этот логарифмический профиль средней скорости отлично доказан экспериментально, при этом до таковой степени, что заполучил статус закона природы в области динамики воды. К огорчению, как мы еще увидим, этот закон не производится поблизости стены и во наружной части пограничного слоя. (Совсем разумеется, что соотношение (38) не может удовлетворять граничному условию .)
Но можно установить предельную форму средней скорости на стене, рассматривая уравнение (31) для полного напряжения сдвига в границах вязкого подслоя. Требуя, чтоб полное напряжение было неизменным в этой области (t12 = t0), и чтоб напряжения Рейнольдса стремились к нулю, получим
, . (39)
Интегрируя это соотношение по x2 и используя (33), получим
, (40)
либо в безразмерных переменных
, (41)
при всем этом константа интегрирования положена равной нулю для того, чтоб удовлетворить граничному условию на стене. Этот линейный закон применим только к вязкому подслою и получил достаточное экспериментальное доказательство.
Хотя уравнения Рейнольдса для средней скорости не могут быть решены, можно проинтегрировать их для получения нескольких нужных результатов, относящихся к сдвиговым течениям. А именно, мы обсудим двумерное течение в канале, образуемом добавлением 2-ой пластинки, параллельной плоскости (x1, x3), расположенной при x2 = 2a над плоскостью x2 = 0. Вниз по течению на значимом удалении от входа в канал, где оба пограничных слоя соединяются совместно, турбулентное течение будет отлично развито, потому уравнения Рейнольдса сведутся к уравнению (29).
Перепишем уравнение (29), заменяя личные производные на простые; получим
. (42)
Интегрирование каждого члена уравнения по x2 дает
, (43)
в каком последняя операция получена с внедрением уравнения (31) и критерий , au1 u2n = 0 при x2 = a (центральная линия канала).
Для значений x2, расположенных довольно далековато от стен канала, можно пренебречь вязкими напряжениями и записать напряжения Рейнольдса в виде
. (44)
С другой стороны, на стене (т.е. при x2 = 2a) имеем принципиальное соотношение
, (45)
которое подтверждает обычный способ определения сдвигового напряжения на стене при помощи 2-ух просто измеримых величин.
Не считая того, можно ввести коэффициент турбулентного сопротивления f при помощи соотношения
, (46)
где U – среднемассовая скорость.
В конце концов, для полноты следует увидеть, что существует эмпирический закон для коэффициента сопротивления в канале. Он имеет вид [Годстейн, 1938; с. 338].
, (47)
где f – коэффициент сопротивления, и именуется законом Прандтля–Кармашка.
Существует неограниченное количество данных, относящихся к турбулентности, большая часть которых получена много годов назад. Заинтересованный читатель может получить красивое воспоминание о предмете, если он заглянет в книжку «Modern Developments in Fluid Dynamics» [Голдстейн, 1938; в 2-ух томах]. Не стоит комментировать скорость развития предмета исследовательских работ, чтоб осознать, что слово «современный» не такое уж тут неприемлимое. Чтоб картина была довольно содержательная, разглядим только несколько исследовательских работ. Мы ограничим внимание на течении в канале.
Для того чтоб дать представление о течении в канале, обратимся к работам Никурадзе (1932, см. [Голдстейн, 1938]), Лауфера (1954) и Лоуна (1971), которые связаны с исследовательскими работами течения в трубах круглого сечения. Результаты для других форм канала – плоских течений – не очень отличаются от рассматриваемых ниже. Но для полноты подвергнутся рассмотрению работы Лауфера (1951), Хуссейна и Рейнольдса (1975), также Креплина и Экельмана (1979), посвященные исследованиям в каналах.
В конце концов, до того как возвратиться к дискуссии экспериментальных результатов ближайшего времени, нам придется переопределить координатную систему для течений с другими геометриями. Для течений в каналах x1 – координата в продольном (осевом) направлении, x2 – расстояние от стены в круговом направлении, x3 – азимутальная.
На рис. 2 показано рассредотачивание средней скорости в трубе для 3-х очень отличающихся друг от друга чисел Рейнольдса. Результаты взяты из работ Никурадзе (1932) и являются довольно неплохой чертой турбулентности с резким конфигурацией профиля скорости около стены и поболее пологим профилем поблизости ядра. Ясно, что такое поведение профиля скорости становится более выраженным по мере роста числа Рейнольдса.
Рис.2. Рассредотачивания средней скорости для течения в трубе
при разных числах Рейнольдса:
– 4?103, – 1,1?105, – 3,2?106
Рвение формы профиля к универсальному «закону стенки» показано на рис. 3, на котором сведены воедино все три прошлые совокупы экспериментальных точек. Так как абсцисса x2 на графике отложена в логарифмическом масштабе (логарифм по основанию 10), ровная линия показывает на удовлетворительную логарифмическую зависимость, которой удовлетворяет большая часть данных.
Рис. 3. Логарифмическое рассредотачивание средней скорости для
течения в трубе: универсальная форма закона в пристеночных
переменных (обозначения те же, что и на рис. 2)
Этот итог доказан бессчетными исследовательскими работами (к примеру, см. [Голдстейн, 1938], [Хинце, 1975]). Это гласит о том, что рассредотачивание скорости, задаваемое соотношением (38), находится в неплохом согласии с экспериментальными данными, кроме тех, которые относятся к области, конкретно примыкающей к стене. Но существенно меньше согласия проявляется в отношении значения констант A и B. На рис. 3 ровная линия соответствует выражению
,
и, переходя к натуральным логарифмам, получим, что A = 2,5 и, как следует, константа фон Кармашка равна k = 0,4. Но даже в рамках приведенных тут данных ясно, что экспериментальный разброс допускает и другие значения констант A и B.
В противоположность этому средний профиль скорости в вязкой подобласти является серьезным результатом. И хотя мы не представили ни одной экспериментальной точки в этой области на рис. 3, линейный закон также проверен экспериментально (последние данные из этой области см. в работе [Бэйквелл и Ламли, 1967]).
Для определения величин в турбулентном течении обратимся к традиционным измерениям Лауфера (1954), который использовал технику проволочных термоанемометров для получения 3-х компонент флуктуирующей скорости для течения воздуха в канале. На рис. 4 представлены среднеквадратичные скорости u1?, u2?, u3?, деленные на скорость ut, определенную по трению на стене, зависимо от x2/a для 2-ух разных чисел Рейнольдса R = 50 000 и R = 500 000. Разумеется, что любая среднеквадратичная компонента удовлетворительно коррелирует с ut, кроме области поблизости стены.
Другие точки, как можно увидеть, содержат несоответствие меж компонентами в большинстве течений, благодаря тенденции к их возрастанию в направлении стены и рвению к одному лимиту на оси трубы. Обсуждение этих качеств будет отложено до последующего пт, в каком подвергнется рассмотрению процесс производства и переноса турбулентности.
Рис. 4. Круговое рассредотачивание 3-х среднеквадратичных компонент скорости для турбулентного течения в трубе: u1?/ut ? , u2?/ut ? — ? , u3?/ut — — —
На рис. 5 показано рассредотачивание величин au1 u2n/ut2, au1 u2n / u1?u2?. 1-ое из их – это отношение напряжений Рейнольдса к напряжениям на стене; данные подтверждают линейную зависимость, предсказанную соотношением (42). 2-ая величина – это коэффициент корреляции, который равен примерно 0,4 независимо от точки.
Поначалу мы объясним уравнение сохранения энергии для флуктуационных скоростей, т. е. уравнение (25). Обращаясь к четвертому члену правой части уравнения, мы окрестили его членом производства, потому что он выражает преобразование энергии от среднего поля к флуктуирующему и интерпретируется потому как скорость генерации турбулентности. Разглядим этот член в критериях стационарного отлично развитого течения в канале. Уравнение (30) есть уравнение (25), переписанное и адаптированное к описанию течения в канале. Член производства энергии сейчас возникает в виде первого члена в левой части уравнения (30) и имеет вид
. (48)
Рис. 5. Круговое рассредотачивание напряжения Рейнольдса
и коэффициента корреляций для турбулентного течения в трубе:
au1 u2n/ut2 ?, au1 u2n/u1?u2? — — —
Сейчас мы в состоянии осознать некие высококачественные особенности результатов, относящихся к среднеквадратичным величинам скоростей, рассмотренных ранее. Из рассмотрения уравнений (24) и (48) можно сделать последующие выводы:
(а) кинетическая энергия среднего течения преобразуется исключительно в флуктуации продольной скорости au12n, потому не умопомрачительно, что u1? больше, чем другие составляющие u2?, u3?;
(б) круговая и азимутальная составляющие u2?, u3? возбуждаются за счет инерционной передачи энергии от u1? средством тройных корреляций либо, конкретнее, благодаря члену, содержащему флуктуации давления.
(в) скорость генерации au12n будет очень большой около стены, где значительны и напряжения Рейнольдса и средний градиент скорости. Эта скорость должна стремительно падать при удалении от стены. Таким макаром, роль тройных корреляций состоит в переносе энергии в круговом направлении (рвение к однородности) и преобразовании энергии от au12n к au22n и au32n (тенденция к изотропии). Это подтверждается плодами, приведенными на рис. 4, которые демонстрируют, что среднеквадратичные составляющие приближенно равны и относительно однородны около оси трубы, где член генерации турбулентности равен нулю.
Можно рассматривать баланс энергии, возвратившись к уравнению (25). Лоун (1971) определял величины отдельных членов в уравнении. Его результаты приведены на рис. 6. Измерение генеративного члена очень доступно, в то время как измерение скорости диссипации представляет огромные трудности, потому что предполагает измерение 9 независящих компонент флуктуирующего тензора скоростей конфигурации напряжения. На рис. 6 кривая диссипации энергии была получена вычислением разности меж генерацией и инерциальной трансформацией (либо диффузией). К огорчению, эта процедура мучается от того, что вклад от флуктуаций давления в диффузию не может быть измерен конкретно и должен быть оценен другим методом с потерей точности.
Лоун также обусловил скорость диссипации 2-мя другими способами, которые были основаны на предположении локальной изотропии в области малых масштабов, которые больше всего несут ответственность за диссипацию. Дальше эти способы не дискуссируются, так как они содержат элементы, лежащие очень далековато от содержания этого курса. Но из рис. 6 ясно, что все три способа определения скорости диссипации довольно отлично согласуются вместе, потому мы относимся к этим результатам как к довольно убедительному подтверждению выполнения уравнения баланса турбулентной энергии.
Рис. 6. Баланс турбулентной энергии в ядре потока в трубе
(Лоун, 1971)
Мы разглядим классические феноменологические теории турбулентности, хотя можно обосновать, что 1-ая – это общее предположение, а 2-ая – есть просто способ его реализации.
Начиная с ранешних исследовательских работ турбулентности, было изготовлено много попыток согласовать идеи, лежащие в базе кинетической теории газов с представлениями о свойствах континуума (в особенности со свойством завихренности и вихревого движения в целом), встречающихся в макроскопическом движении воды. В итоге многие теории турбулентности основывались на аналогии меж хаотическим движением вихрей и случайном движении молекул в разреженных газах. Модель длины смешения (см., к примеру, [Шлихтинг, 1968], [Хинце, 1975]) отлично известна и дает нам увлекательный пример, который мы тут обсудим. Мы начнем с рассмотрения связанного с этими представлениями понятия действенной вихревой вязкости.
Представление о том, что коллективное движение вихрей может быть заменено коэффициентом вязкости, очень презентабельно. Обычно оно вводится по аналогии с известными плодами кинетической теории (к примеру, как в уравнении (8)):
среднее вязкое сдвиговое напряжение = .
Можно попробовать представить турбулентное сдвиговое напряжение в аналогичной форме
, (49)
где nT(x2) – это кинематическая вихревая вязкость. Вопреки тому, что провозглашение таковой аналогии было разумеется даже для ранешних исследователей турбулентности, эта догадка все еще завлекает огромное внимание. Позже мы разглядим дополнительные доказательства этой идеи о вихревой вязкости на базе недавнешних ренормгрупповых исследовательских работ, которые будут даны с некими ограничениями. На данной стадии мы просто отметим, с критичной точки зрения, что в течении, где и au1 u2n обращаются в ноль сразу в некой точке, вихревая вязкость (определенная соотношением (49)) может быть или нулем, или бесконечностью в неких точках течения. Если же мы преследуем аналогию с континуальными механизмами, а не кинетической теорией, то разумеется, что «конститутивные соотношения» для турбулентности в общем случае должны быть значительно более сложными, чем чисто «ньютоновское», определяемое соотношением (49).
Модель длины смешения является более амбициозной попыткой выстроить аналогию с кинетической теорией. Мы начнем с напоминания о том, что напряжение сдвига Рейнольдса rau1 u2n – это поток x1 — составляющие импульса в направлении x2. Прандтль представил, что этот импульс переносится дискретными порциями воды, которые передвигаются в направлении x2 на расстояние l без взаимодействия вместе (т. е. подразумевается, что их импульс сохраняется на длине l), а потом перемешиваются с жидкостью в новеньком месте. Ясно, что длина l, именуемая длиной смешения, играет в этом процессе роль длины свободного пробега.
Значимым в этом анализе является последующее. Водянистый элемент dV переносится из точки x2 в точку x2 + l при помощи флуктуации скорости u2. При всем этом переносится импульс в другую точку благодаря разности меж и . В итоге меняется импульс в направлении x1, и, как следует, меняется скорость u1 в направлении x1. Это можно выразить последующим образом:
(50)
с точностью до первого порядка по l , как следует
. (51)
Заметим, что, если является растущей функцией x2, водянистые частички, передвигающиеся в направлении положительных x2 (т. е. в направлении, соответственном положительным флуктуациям u2), вызывают отрицательную флуктуацию в скорости u1. Таким макаром, напряжение Рейнольдса будет негативно, потому корреляцию можно записать, используя среднеквадратичные скорости, в виде
, (52)
где R12 – коэффициент корреляции. Последующий шаг следует из экспериментальных наблюдений, которые демонстрируют, что u2? имеет тот же порядок величины, что и u1? в подслое, где напряжение повсевременно. Выразив через константу C коэффициент R12, получим из формулы (51)
, (53)
где константа C сейчас уже вошла в определение l.
На этом шаге нам нужны последующие догадки, а конкретно:
(а) в подслое неизменного напряжения можно положить t12 = tw;
(б) для x2 > 5 можно пренебречь вязким членом в сдвиговом напряжении;
(в) l = k x2, где k известна как константа Кармашка.
После чего, воспользовавшись уравнениями (31) и (53), получим
, (54)
откуда, с учетом уравнения (32),
. (55)
В конце концов, извлекая корень квадратный из правой и левой частей уравнения и интегрируя по x2, получим профиль скорости в виде
, (56)
где D – константа интегрирования. Этот итог можно сшить с линейным профилем (см. уравнение (41)), выбрав подходящим образом константу D. В итоге получим, что логарифмический профиль, задаваемый соотношением (56), удовлетворяет виду «закона стенки» (38). Мы лицезреем, что опыт дает существенное доказательство логарифмического рассредотачивания скорости.
Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов