Турбулентность
Турбулентность
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего проф образования
столичный физико-технический институт
(муниципальный институт)
Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ Способам ИССЛЕДОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением
Столичного физико-технического института
(муниципального института)
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
по направлению “Прикладные математика и физика”
Москва 2005
30. 30. Теодорович Э.В. Способ ренормализационной группы в задачках механики // ПММ. – 2004. Т. 68. Вып. 2. С. 335–367.
УДК 532.529
Х58
Рецензенты:
Кафедра физики Русского химико-технологического института
(Зав. кафедрой, доктор физико-математических наук, доктор В.М. Кузнецов)
Доктор физико-математических наук, доктор И.И. Липатов
Хлопков Ю.И., Жаров В.А. Горелов С.Л.
Х58 Лекции по теоретическим способам исследования турбу-
лентности: Учебное пособие. — М.: МФТИ, 2005. — 179 с.
ISBN 5-7417-0132-9
Рассмотрены теоретические базы исследования турбулентного движения воды. Дан критичный анализ бессчетных теоретических подходов описания турбулентности. Турбулентность рассматривается в контексте физических способов. Приведенный в пособии ретроспективный взор позволяет просто перейти к исследованию современных способов теоретического и численного исследования сложных неоднородных турбулентных течений. Книжка доступна как для студентов, так и для аспирантов-аэродинамиков.
Создано для широкого круга читателей, интересующихся современными неуввязками описания турбулентных течений.
УДК 532.529
© Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л., 2005
ISBN 5-7417-0132-9 © Столичный физико-технический институт
(муниципальный институт), 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вступление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Современные способы исследования
турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2. Турбулентность как естественное состояние
воды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3. Турбулентность как ветвь статистической
физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4. Перенормировочная теория возмущений . . . . . . . . .
107
5. Ренормализационная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
Перечень литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
Вступление
Вопросу теоретического описания турбулентных явлений посвящено огромное количество монографий и научных статей, потому что эта неувязка оказывается неувядающей вот уже в течение более 150 лет. Временами возникают очень калоритные новые идеи и способы, которые вдохновляют бессчетных исследователей на преодоление необыкновенных проблем, связанных с осознанием сущности трудности. Все же практическая значимость хотя бы инженерного решения этой трудности породила большущее число полуэмпирических моделей, в каких вопрос о сущности трудности не ставится, а результаты ориентируются на определенный набор увлекательных для технических приложений течений. При всем этом делается упор на описание средних моментов низкого порядка: средняя скорость, среднее давление, средняя кинетическая энергия, средние концентрации хим компонент и т. п. Не считая того, развивалось моделирование, мотивацией которого была невозможность четкого численного описания течений при очень огромных числах Рейнольдса.
В ближайшее время достигнут значимый прогресс в экспериментальном и теоретическом исследовании анизотропных турбулентных течений, который позволяет возвратиться к начальным дилеммам, связанным с существом этого явления [1–4]. Экспериментально обнаружены когерентные структуры, которые представляют значительные элементы течений, оказывающие сильное воздействие на разные физические свойства потоков. Таким макаром, течение разбивается на глобально среднее течение, когерентную структуру и стохастический компонент. Были изготовлены опыты, которые содействовали выявлению деталей когерентных структур. Стохастический же компонент стал на теоретическом уровне связываться с так именуемой фрактальной структурой огромного количества сингулярностей поля завихренности [6–8]. Сингулярная структура турбулентного поля пульсаций следует, к примеру, из обычных рассуждений [5].
Разглядим уравнение Навье–Стокса:
. (1)
При n ® 0 уравнение инвариантно относительно преобразований [29]:
. (2)
Для конечных n уравнение будет инвариантным, если
. (3)
Заметим, что число Re = VL/n инвариантно относительно преобразований (2) и (3). Предполагая, что мелкомасштабная турбулентность статистически инвариантна относительно этих законов подобия, мы можем избрать h, исходя из физических суждений. Предположение Колмогорова (1941) – законы подобия турбулентности оставляют постоянным поток энергии в предположении о локальности нелинейных взаимодействий в k-пространстве. Из этого догадки следует, что скорость диссипации энергии инвариантна относительно преобразований подобия (3). По определению, e = na(Nv)2n, где знак a…n – среднее по ансамблю. Отсюда
(4)
Из инвариантности получаем h = 1/3. Теория Колмогорова имеет сильное продолжение по отношению к величине градиента скорости Nv. Разглядим величину
.
Из преобразования подобия с h = 1/3 следует
. (5)
т.е. градиент скорости является сингулярной величиной.
Сингулярность поля пульсаций с самого начала трудности обыгрывалась по аналогии с кинетической теорией газов, т.е. несжимаемая жидкость рассматривалась как ансамбль водянистых частиц – молей. При всем этом течение определяется хаотическим движением молей, любой из которых обладает своей скоростью и координатой. Изменение нрава течения в целом, к примеру, поля средних скоростей происходит из-за турбулентного смешивания молей с различными своими скоростями. Вообщем неважно какая черта течения является усреднением подобных черт молей, составляющих данный поток. Аналогию меж молярным смешиванием в турбулентном потоке и молекулярным переносом в газах использовали еще Буссинеск и Прандтль для вывода узнаваемых формул турбулентного трения. Формула Буссинеска имеет вид
,
тут величины l и v – случайные длина смешивания и пульсационная скорость водянистой частички. Формула Прандтля имеет вид
,
тут L (путь смешения) – эмпирическая величина. В общем случае схожими формулами осуществляется связь 2-ух тензоров: тензора напряжения и тензора скоростей деформации. Заметим, что схожая связь меж нареченными тензорами именуется линейной, даже если коэффициент nT находится в зависимости от частей поля скорости.
Огромным вкладом в развитие теории турбулентности явилась каскадная теория передачи энергии по диапазону турбулентных пульсаций, т. е. передача энергии от огромных масштабов к наименьшим. Колмогоров и Обухов дали этой теории в однородном и изотропном случае аналитический вид, воспользовавшись теорией размерности и подобия. Результаты были экспериментально доказаны с большой степенью точности. С того времени для течений с большенными числами Рейнольдса изотропная и однородная турбулентность рассматривается как основная составляющая, хотя и допускается существование ситуаций, в каких диапазон энергии еще не установился.
Главный вывод этой теории – наличие инерционной области диапазона по волновым числам k: 1/L << k << (1/L)Re3/4, в какой вязкие эффекты диссипации энергии несущественны, по этому спектральная плотность энергии изменя ется зависимо от волнового числа по закону «–5/3». Включение этого элемента в динамику воды приводит к возникновению моделей с некой феноменологической связью тензора напряжений с тензором скоростей деформаций дополнительными уравнениями, наподобие обозначенных выше, также к некому числу дополнительных уравнений для величин типа турбулентной энергии, скорости диссипации и т. п. (к примеру, K–e модель). Но практика показала, что подобные модели имеют неширокую область внедрения. С конфигурацией области внедрения изменяются и константы, входящие в эти уравнения, которые нужно опять определять экспериментально. Не считая того, для течений типа пограничного слоя появлялись трудности с ублажение граничных критерий на жестких поверхностях.
Более последовательное, на наш взор, направление построения моделей для течений с большенными числами Рейнольдса связано с так именуемым подсеточным моделированием, смысл которого связан с тем, чтоб бросить в уравнениях гидродинамики только масштабы, превосходящие размеры расчетной сетки (разрешенные масштабы). Это уменьшает количество степеней свободы до разумной величины и позволяет использовать современную вычислительную технику для определения средних полей течения. Размер расчетной сетки выбирают так, чтоб соответственное ей волновое число находилось в инерционной области, и вводится некая связь тензора напряжений с элементами поля течения. Так, к примеру, в модели Смагоринского вводится линейная связь меж тензором напряжений и тензором скоростей деформации. Коэффициент вязкости заменяется на коэффициент турбулентной вязкости, который определяется из осреднения подсеточных пульсаций, т. е. пульсаций, размер которых меньше размера сетки. К начальным уравнениям могут быть добавлены несколько дополнительных уравнений, к примеру, для подсеточной кинетической энергии и т. п. Уравнения решаются по времени относительно разрешенных переменных, при всем этом пульсации с подсеточными частотами отфильтровываются при помощи того либо другого фильтра, а то, что остается, усредняется по времени. В этом их главное отличие от моделей типа Буссинеска либо Прандтля, которые можно использовать и в стационарных постановках.
Но практика показала, что очень анизотропные течения, такие, как течение в пограничном слое либо в слое смешения, не ухватываются такими теориями, приводя к неверному профилю скорости и другим эффектам. Последние экспериментальные заслуги демонстрируют, что подобные модели не содержат ряд эффектов, которые наблюдаются в реальных потоках. После скрупулезного анализа оказалось, что подсеточные модели должны содержать эффекты переноса энергии по диапазону в инерционной области, включая оборотное рассеяние энергии, также ее перераспределение меж нормальными компонентами тензора напряжений. Эти эффекты являются следствием нелинейных взаимодействий и анизотропии. Результаты, приобретенные при использовании нелинейной модели в крупномасштабном моделировании нейтрального сдвигового пограничного слоя в атмосфере, показывают существенное улучшение в пророчестве средних величин по сопоставлению с линейными моделями типа модели Смагоринского. Эти результаты демонстрируют также сильное воздействие модели на структуру течения.
Отметим также способы [24–28], в каких для турбулентного пограничного слоя на базе множественного трехволнового резонанса получены уравнения для пульсаций в виде кинетического уравнения для простых волн и очевидным образом выделенного уравнения для пристеночной когерентной структуры, ответственной за генерацию завихренности со стены. Очевидное выделение когерентной структуры позволяет вновь возвратиться к стационарной постановке задачки. Нрав нелинейности тензора напряжений при всем этом сохраняется.
Не считая способов подсеточного моделирования огромное распространение получили способы статистического моделирования турбулентных течений [16–22]. В этих способах делается попытка феноменологически сформировать уравнение для плотности вероятности флуктуаций поля скорости (и других характеристик), которое потом решается при помощи способов Монте-Карло. Таковой подход позволяет вычислять как средние моменты низшего порядка, так и поболее тонкие статистические свойства. В качестве практических достижений этих подходов можно указать на численное решение задач о турбулентном следе за цилиндром, о расплывании турбулентного пятна, о профиле турбулентного пограничного слоя, обтекание оборотной ступени и т. п.
Наряду с обозначенными действенными подходами к описанию турбулентной динамики развиваются теоретические способы исследования, в каких на базе уравнений Навье–Стокса делаются пробы отыскать или статистическое решение трудности [9, 10] (неувязка замыкания, уравнения в многофункциональных производных), или употребляются способы динамических систем (мультифрактальная структура поля завихренности, вейвлетный анализ – фрактальное преобразование свертки) [5–7], или употребляются уже зарекомендовавшие себя в исследовании критичных явлений ренормгрупповые приложения теоретико-физических асимптотических способов, развитых в применении к описанию динамических систем с нескончаемым числом степеней свободы с возбуждением непрерывного диапазона масштабов [11–14, 23, 30]. Детали способа громоздки, но сущность неких его вариантов можно объяснить на примере способа Гаусса [15] вычисления эллиптического интеграла (в RNG способах тоже рассчитываются интегралы для нахождения средних по ансамблю величин, только эти интегралы являются, вообщем говоря, континуальными) при помощи арифметико-геометрического среднего. Пусть нужно вычислить интеграл вида
.
Для его вычисления делается преобразование этого интеграла, которое оставляет вид и величину этого выражения постоянными, т. е. новое выражение можно записать как
,
а m? и n? определены выражениями
,
т. е. рекуррентно. Гауссом было подтверждено, что предел для m? и n? этих рекуррентных соотношений существует, и m? и n? совпадают. После чего разыскиваемый интеграл I просто выражается через этот предел. Сведение задачки к рекурсивным соотношениям является основой многих RNG подходов.
Дальше описаны результаты теоретических исследовательских работ, связанных с решением задачки об изотропной и однородной турбулентности. Приводится обычное физическое введение в суть явления, дается короткое описание математических способов, позволяющих обрисовывать системы с нескончаемым числом степеней свободы. Не считая того, подводится результат внедрения этих способов для описания однородной и изотропной турбулентности. Рассмотрены парадоксы и особенности этих способов. Все это дает неплохую базу для осознания и внедрения современных математических подходов к решению задач о турбулентном движении воды.
Перечень литературы
1. 1. Репик Е.У., Соседко Ю.П. Исследование прерывающейся структуры течения в пристенной области турбулентного пограничного слоя // Турбулентные течения. – М.: Наука, 1974.
2. 2. Садовский В.С., Синицына Н.П., Таганов Г.И. Численное исследование математической модели пристенного течения в турбулентном пограничном слое // Пристенные турбулентные течения. Ч. 1. – Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1975.
3. 3. Robinson S.K. Coherent Motions in the Turbulent Boundary Layer // Ann. Rev. Fluid Mech. –1991. V. 23. P. 601–639.
4. 4. Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Когерентные структуры в турбулентном пограничном слое. – М.: МФТИ, 2002. – 267 с.
5. 5. Benzi R., Paladin G., Parizi G., Vulpiani A. On the multifractal nature of fully developed turbulence and chaotic systems // J. Phys. A. Math. Gen. –1984. 17. P. 3521–3531.
6. 6. Суини Х. и др. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. – М.: Мир, 1984. – 344 с.
7. 7. Farge Maric. Are wavelets and related multiscale techniques useful for turbulence? // Tagungsber. Math. Forschungsinst. Obervolfach. – 1995. N 31. Р. 6–7.
8. 8. Монин А.С., Полубаринова-Кочина П.Я., Хлебников В.И. Космология, гидродинамика, турбулентность. А.А. Фридман и развитие его научного наследства. – М.: Наука, 1989. – 325 с.
9. 9. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Теория турбулентности. Т. 2. – М.: 1996. – 742 с.
10. 10. Inoue A. Functional Derivative Equations (including the Hopf equation) in an Analysis on superspace over co-dimentional Frechet-Grassman algebra // Tagungsber. Math. Forschungsinst., Obervolfach. – 1991. N 35. Р. 9.
11. 11. Теодорович Э.В. Внедрение способа ренормализационной группы // Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Теория турбулентности. Т. 2. – М.: 1996. – 742 с.
12. 12. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н. Квантовополевая ренормализационная группа в теории развитой турбулентности // УФН. – 1996. Т. 166, № 12. С. 1257–1284.
13. 13. Захаров В.Е., Львов В.С. О статистическом описании нелинейных волновых полей // Известия ВУЗов, Радиофизика. – 1975. Т. XVIII. № 10. С. 1470–1487.
14. 14. Ширков Д.В. Ренормализационная группа, принцип инвариантности и многофункциональная автомодельность // ДАН СССР. – 1982. Т. 263. С. 64–67.
15. 15. Клайн Ф. Лекции о развитии арифметики в XIX столетии: в 2-ух томах. Т. 1. – М.: Наука, 1989. – 456 с.
16. 16. Кузнецов В.Р., Сабельников В.А. Турбулентность и горение. – М.: Наука, 1986. – 287 с.
17. 17. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. – М.: Физматлит, 1994. – 448 с.
18. 18. Van Slooten P.R., Pope S.B. Advances in PDF modeling for inhomogeneous turbulent flow // Phys. Fluids. – 1998. V. 10, N 1. Р. 246–265.
19. 19. Delarue B.J., Pope S.B. Calculation of subsonic and supersonic turbulent reacting mixing layers using probability density functions methods // Phys. Fluids. – 1998. V. 10, N 2. Р. 487–498.
20. 20. Ong L., Wallace J. M. Joint probability density analysis of the structure and dynamics of the vorticity of a turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. – 1998. V. 367. Р. 291–321.
21. 21. Белоцерковский О.М., Иванов С.А., Яницкий В.Е. Прямое статистическое моделирование неких задач турбулентности // ЖВМ и МФ. – 1998. Т. 38, № 3. С. 489–503.
22. 22. Белоцерковский О.М., Опарин А.М. Численный опыт в турбулентности. От порядка к хаосу. Изд. 2-е, доп. – М.: Наука, 2000. – 223 с.
23. 23. Васильев А.Н. Квантово-полевая ренормгруппа в теории критичного поведения и стохастической динамике. Сиб. Изд. ПИАФ, 1998. – 774 с.
24. 24. Жаров В.А., Додонов И.Г., Хлопков Ю.И. Резонансные характеристики ламинарного и турбулентного пограничных слоев // Численное моделирование в задачках аэродинамики и экологии. – М.: МФТИ, 1998.
25. 25. Zharov V.A., Dodonov I.G., Khlopkov Yu.I. Resonant properties of laminar and turbulent boundary layers // Proc. of the third seminar on RRDPAE’98, Warsaw University of Technology, Research Bulletin N 7, part II, Warsaw, 1999.
26. 26. Жаров В.А., Додонов И.Г., Хлопков Ю.И. Локализованные когерентные структуры в пограничном слое // ПМТФ.– 2000. Т. 41, № 6. С. 60–68.
27. 27. Bogolepov V.A., Zharov V.A., Lipatov I.I., Khlopkov Yu.I. Turbulent boundary layer model with explicit representation of coherent generative structure // Proc. of Int. conf. «Progress in nonlinear science». Nizhniy Novgorod, Russia, July 2–6, 2001, V. II, pp. 209–214.
28. 28. Жаров В.А., Боголепов В.В., Липатов И.И., Хлопков Ю.И. Модель турбулентного пограничного слоя с очевидным выделением когерентной генерационной структуры // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 4. С. 65–74.
29. 29. Frish U. Fully developed turbulence and singularities // In: Chaotic behavior of deterministic systems, Les Houches, 1981, North-Holland: Amsterdam, 1983, pp. 665–704.